高数课件：《函数的极值及最优化应用》节选

在工农业生产，工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎么使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“利润最高”,等等。对这类问题的研究产生了数学的一个专门的分支，称为最优化. 本部分内容是最简单的最优化应用问题，其特点是在数学上可以归结为求某一函数（在最优化中称为目标函数）的最大值或最小值问题.

最值定理 设函数 f(x)在有界闭区间 [a, b]上连续, 则f(x)在 [a, b]上存在最小值m和最大值 M，即存在点 c, d ∈ [a, b]，使得对一切 x ∈ [a, b]，都有f (x) ≥ f (c) = m 及  f (x) ≤ f(d) = M．

注：1．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

        2．极值是一个局部概念,  最值是一个全局概念.

费马引理：设函数 f(x)在 x₀点处可导，且存在x₀ 的 δ 邻域U(x₀,δ),  使得当 x∈U(x₀,δ)时,  恒有

      f(x)≥f(x₀) (或f(x)≤f(x₀)),

那么f′ (x₀)=0.

注：1．可微函数，极值点一定是驻点，其对应的几何意义是：可微函数的图形在极值点处有水平切线．但驻点不一定是极值点.

２. 函数的不可导点也可能是极值点．

●连续函数单调性的分界点是函数的极值点

●闭区间上的连续函数的最值可能取值位置为端点，驻点或不可导点. 这些点的函数值中最大的就是最大值，最小的即为最小值.