海赛(Hessian)矩阵与多元函数泰勒展开知识点总结与相关问题求解

1、海赛(黑塞)矩阵

设n元函数f(X)在点X处对于自变量的各分量的二阶偏导数

连续，则称矩阵

为f(X)在点X处的二阶导数或黑塞矩阵(Hessian Matrix)，也可记作

【注】矩阵H为对称矩阵．

当n=2时，由二元函数f(x₁,x₂)的所有二阶偏导数构成的黑塞矩阵为

由二元函数f(x₁,x₂)的所有二阶偏导数组成．

2、多元泰勒公式

设f(X)是n维函数，X₀∈Rⁿ，如果f(X)在X₀的某邻域内具有二阶连续偏导数，则对于点X₀的某邻域内的点X，存在常数θ(0<θ<1)，使得

称上式为f(X)在点X₀处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式．

也可写作

如果假定函数f(X)在X₀处可微，则有

以上两式分别称为f(X)在X₀处的带皮亚诺余项的一阶及二阶泰勒公式．它们分别表明了在一定条件下，函数f(X)可以用线性函数和二次函数来近似．

【注】当n=1时，它们形式上与一元函数的泰勒公式相同．以上可以推广到多元函数的n阶泰勒公式。

       以二元函数为例，给出更具体的描述形式！

3、二元函数的n阶泰勒公式展开

设z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x,y)为此邻域内任一点，记h=△x =x-x₀,k=△y =x-y₀，则有

其中

这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x₀,y₀)的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式；当(x₀,y₀)=(0,0)时为麦克劳林公式。

具体应用例子请参见课件中的例子。

黑塞矩阵与多元函数的泰勒公式参考课件节选：

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