1、球坐标与球坐标系
设空间直角坐标系O-xyz中任一点P(x,y,z)，P点在xOy面上的投影点为M(x,y,0)，记点到原点的距离为r(0≤r<+∞)；向量OP与z轴正方向的夹角为φ(0≤φ≤π)；从z轴正向看，x轴正向按逆时钟方向转动到OM方向的夹角为θ(0≤θ≤2π)，如图1。
空间点P(x,y,z)的位置可由r,φ,θ这三个数确定，并称这三个数称为点P的球坐标，一般记作(r,φ,θ)；称由原点及球坐标确定的坐标系称为球坐标系。
当r=0,φ=0,θ=0，其对应的图形分别为原点、z轴、过x轴正半轴和z的半平面。
当r=r0,φ=φ0,θ=θ0，即三个球坐标变量分别取为常数时，则对应的图形分别为以原点为球心、半径为r0的球面，以原点为顶点、中心轴为z、空间点对应的向径与z轴正向夹角为φ的半圆锥面，过z轴和过的空间点在xOy面上的投影点对应的向径的半平面。这样三个曲面的交点就对应了由(r0,φ0,θ0)所描述的点的位置，如图2。
2、球坐标与直角坐标之间的转换
由图1，容易得到空间直角坐标系与相应的球坐标系中同一点P(x,y,z)，P(r,φ,θ)的两类坐标之间的关系为：
θ取值由P点在xOy面上的投影点位于xOy面的象限所确定，可能需要加上π或2π才是对应投影线与x轴正半轴的夹角，通常
3、球坐标系下区域的分类
设在球坐标系中有空间立体区域Ω，如果在Ω上的点可能的(φ,θ)的取值范围内，以坐标原点做射线（即φ,θ取为常数时，半平面与半锥面的交线）穿过区域内部，如果射线与区域边界曲面的交点不多于两个，则称区域Ω为φθ-型区域（为简单起见，也可称为关于r的区域）。如果所有穿经区域Ω内部的射线进入区域时与区域边界曲面的交点都在由函数r=r1(φ,θ)描述的边界曲面上，穿出区域时与边界曲面的交点都在由函数r=r2(φ,θ)描述的边界曲面上，则这样的区域称为球坐标系中简单φθ-型区域，如图3。
类似地，在Ω上的点可能的(r,φ)的取值范围内，任取r,φ分别做圆心为原点，半径为r的球面和顶点在原点，中心轴为z轴，锥面上的点对应的向径为z轴正半轴的夹角为φ的半圆锥面，则两者的交线（圆）从z轴的正向看逆时钟穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为rφ-型区域，如果入点对应的角度θ可以统一描述为θ=θ1(r,φ)，出点对应的角度θ可以统一描述为θ=θ2(r,φ)，则这样的区域称之为简单rφ-型区域，如图4。
同样，在Ω上的点可能的(r,θ)的取值范围内，任取r,θ分别做球面和半平面，则半平面与球面的交线从上到下穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为rθ-型区域，如果入点对应的角度φ可以统一描述为φ=φ1(r,θ)，出点对应的角度φ可以统一描述为φ=φ2(r,θ)，则这样的区域称之为简单rθ-型区域，如图5。
4、空间区域的球坐标不等式描述的构建步骤
考虑到球坐标系下描述的复杂性，一般在球坐标系下一般只考虑关于r的区域类型，即φθ-型区域。下面以简单φθ-型区域为例，来考察如何获取其球坐标变量的不等式描述形式。
假设空间区域Ω在上点对应的角度θ∈[θ0,θ1]，并且任取θ∈(θ0,θ1)，设它对应的半平面与区域Ω相交的平面区域D(θ)，D(θ)它上点的φ取值的最小值随着θ的不同可以表示为φ=φ1(θ)，最大值可以表示为φ=φ2(θ)，如图6，则可以得到如下确定简单φθ-型球坐标变量不等式描述形式的步骤：
第一步：写出所有围成区域Ω的边界曲面的球坐标方程，如果边界曲面方程为直角坐标方程，则借助于球坐标与直角坐标之间的变换关系式，转换直角坐标方程为球坐标方程。
第二步：将区域Ω投影到xOy面上，借助极坐标确定极角范围的方法确定θ的范围，设为θ0≤θ≤θ1。
第三步：任取θ∈(θ0,θ1)做半平面与区域Ω相交，得到相交的平面区域D(θ)，通过取φ从0连续变化到π，得半圆锥面与区域D(θ)的边界线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ1(θ)，半圆锥面离开区域D(θ)时与边界曲线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度φ=φ2(θ)，则得φ1(θ)≤φ≤φ2(θ)。其中θ,φ的关系式可以通过球坐标系中边界曲面交线对应的方程组消去r变量得到。
第四步：对于确定的θ,φ，半平面与圆柱面的交线，从原点出发进入区域D(θ)，交线进入区域D(θ)，与边界线的交点位置，r=r1(φ,θ)；交线穿出区域D(θ)，与边界线的交点位置，r=r2(φ,θ)，从而可得r1(φ,θ)≤r≤r2(φ,θ)，如图6。
于是，可得简单φθ-型区域的球坐标变量不等式描述形式为
对于不为简单区域的区域，一般用可考虑使用r,φ,θ等于可取值范围内的常数对应的球面、锥面和半平面对区域进行分割，将其分割为相应的简单区域类型来写出三重积分的关于球坐标变量的累次积分形式来完成计算过程。
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