可用定积分模型求解的问题类型及基本解题思路与步骤:
(1) 定型:判定所求量是否适合使用定积分模型求解
依据:需要计算的量具有可加性,即可以对所求量进行分割,总量等于各部分量之和。
(2) 定线:将所求量分布到一条有限长度的线段上,使得可以通过对线段的分割,实现对所求量的分割。量的分割方式可以就为线段上的点(如细棒的质量、变力沿直线段位移作功、变速直线运动的路程计算,直线型构件对质点的引力等);也可以通过在线段上取点,做垂直于线段的直线(如静压力、平面区域的面积等)或者平面(如立体体积的计算)实现对所求量的分割。
【注】线段的选取不唯一。
(3) 定限:过选择的直线段,指定合适位置为原点和一个方向,建立数轴(或为坐标系中的一个坐标轴),从而线段在数轴上占有的区间[a,b](即所求量就分布在[a,b]对应的线段上,或者分布在过a,b两点垂直于数轴的两直线或两平面之间)即为定积分的积分区间。
【注】:对于给出了函数或者变量范围的实际问题区间直接给出。比如求圆心角为a,半径为R,线密度为μ的圆弧形物体对位于圆心位置,质量为m的质点的引力,则变量的范围可以直接取为[0,a]或[-a/2,a/2],等,坐标系建立的不同而不同。这也就是说同样的变量取值范围,可能对应不同的积分区间。(该题可以通过分割圆心角范围,计算对应小段的弧长,从而得到相应的质量计算得到小段的引力,然后通过力的分解,定积分分别求指定方向的力,本题建立的坐标系主要是为力的分解服务的)。
(4) (分割)近似:在确定使用的变量范围内,任取x∈[a,b],给一个增量dx,则以两端点位置采取合适方式(点分割、线分割、面分割)分割总量,并用x位置属性代替小区间对应部分量的整体属性(如高、密度、力、距离等),构建函数f(x),将不规则问题规则化,近似描述小区间[x,x+dx]对应的部分量为f(x)dx。
(5) (求和取极限)建模:以[a,b]为积分限,f(x)dx为积分表达式,写出总量U计算的积分模型,即
(6) 计算:计算定积分。
【注1】其中(4)(5)就是元素法(或称为微元法)的基本思想,即“分割取近似,作和求极限”。
【注2】:如果对于整个区间[a,b]不能建立统一的被积表达式,可以考虑对区间进行分割,分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型,分别计算定积分,然后借助量的可加性,求和得到最终的总量。
【注3】定积分只能是数量(标量)的求和,因此对于矢量的计算应该分解为标量进行分量的计算来计算,比如引力的计算。
定积分适用的问题类型与建模步骤参见:《定积分的几何应用》基本解题思路与与参考课件节选
参考课件节选:
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