可分离变量的微分方程与构建微分方程模型的微元法

一、可分离变量的微分方程求解方法

可分离变量的微分方程及其求解方法的适用于一阶微分方程，可用该方法求解的微分方程类型及其步骤可以概括如下：

第一步：拆分导数表达式为微分形式，使得微分方程具有f(x,y)dy=g(x,y)dx结构；

第二步：分离变量，拆分f(x,y)=f₁(x)f₂(y),g(x,y)=g₁(x)g₂(y)，如果可以则该微分方程为可分离变量的微分方程，如果不具有这样的结构，则该微分方程不直接具有可分离变量的微分方程结构。

第三步：对于可分离变量的微分方程，通过乘除项的方法，转换结构为m(y)dy=n(x)dx结构，然后两端关于各自变量求不定积分，即有

其中C=C₂-C₁，M(y)为m(y)的一个原函数，N(y)为n(y)的一个原函数，则M(y)-N(x)=C即为所求一节微分方程的隐式通解。

【注】如果微分方程不直接为可分离变量的微分方程，则可以考虑使用换元法，将其转换为可分离变量的微分方程来求解，比如课件中的例3和课堂练习。对于不能使用换元法转换为可分离变量的一阶微分方程的求解则考虑其它方法，当然也有些根本可能无法求得其通解（解析解）。

二、微元法建立微分方程模型的方法与步骤

第一步：确定自变量x与最终因变量y；

第二步：构建最终变量的变化区间，任取区间内点x，考虑增量dx，计算区间当自变量从x变化到x+dx时引起的因变量增量dy。

第三步：构建dx与dy之间的关系，即得到一阶微分方程模型。

第四步：根据已知条件，确定初值条件，即当自变量x取某个值时因变量的取值。

第五步：求一阶微分方程的通解，并由初值条件确定任意常数。

参考课件节选：