典型习题：(08020506)空间直线及其方程的求解思路与方法

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习题分析、求解、小结讲解视频

 

 

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习题与参考答案

 

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内容小结与知识点

 

 “空间直线及其方程的求解思路与方法”题型相关的知识点：

【注1】：直线与平面π的交点求解思路：

(1) 描述直线的两个平面与平面π，三个平面的交点必为相应直线与平面π的交点；

(2) 写出直线的参数方程，将坐标的参数表达式代入平面π的方程，得到参数的取值，回代参数值到直线的参数方程，得到直线与平面π的交点坐标。

 【注2】：由于空间直线的参数方程用一个参数描述了空间直线上的点对应的三个坐标分量，这样的描述形式对讨论、解决与空间直线相关问题来说，十分方便、有效，因此也是我们经常使用的空间直线描述形式。

1．空间直线的方向向量

给定一条直线，称平行于这条直线的非零向量s为该直线的方向向量．显然，与s平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量．直线上的所有向量都与该直线的方向向量平行．

2．直线的向量式参数方程

设直线L过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记

则直线L参数为t的向量式参数方程为

 3．空间直线的坐标式参数方程

过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的坐标式参数方程为

 4．空间直线的标准式方程

过点M₀(x₀,y₀,z₀)，方向向量为s=(m,n,p)的直线的标准式方程，或者对称式方程，点向式方程为

 5．空间直线的两点式方程

已知空间直线L上的相异的两点A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，则两点的连线构成的直线的两点式方程为

 6．空间直线的一般式方程

  设两平面方程分别为：

则两平面的交线的一般式方程为

 7．直线方程描述形式的转换

两个平面描述的直线的方向向量可取为两平面的法向量n₁=(A₁,B₁,C₁), n₂=(A₂,B₂,C₂)的向量积，即

因此，取(x₀,y₀,z₀)满足方程组，则由此向量可以将直线的一般式方程转换为以上方程的描述形式。

同样，由直线L的标准式方程、参数式方程、两点式方程也容易得到直线L的一般式方程。

如由直线L的标准式方程

可以将直线描述为

它对应通过直线L的两个特定的平面。

如果方向向量的某一分量为零，如s=(m,n,0)，则过点(x₀,y₀,z₀)的直线L的坐标式参数方程为

直线的一般式方程为

对于这样方向向量有坐标分量为0的直线，一般也记它的标准式方程为