习题分析、求解、小结讲解视频
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习题与参考答案
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内容小结与知识点
“旋转曲面所围立体的体积”相关的知识点:
1.曲面的参数方程
对于两个参数描述的一组坐标表达式
它们所构成的图形也表示空间的曲面,并把这种描述曲面图形的形式称为曲面的参数方程。
2.一般空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程
空间曲线
绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为
类似可得绕其他坐标轴旋转所得旋转曲面的参数方程。
3.常见标准曲面及其参数方程
椭球面:
参数方程:
双曲面:双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面:
双叶双曲面:
参数方程举例:
抛物面:抛物面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。
椭圆抛物面:
如果a=b,则为旋转抛物面。
参数方程举例:
双曲抛物面(马鞍面):
参数方程举例:
二次锥面:在空间,通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。直线称为锥面的母线,定点称为锥面的顶点,定曲线称为锥面的准线。
【注1】锥面由它的顶点和准线唯一确定,准线不唯一且所有母线都相交于顶点。如方程
描述的曲面图形为顶点在原点的椭圆锥面,其中心轴在分别为z轴,x轴,y轴.当a=b时为圆锥面。
【注2】圆锥面是旋转曲面,它的准线可以取为垂直于旋转轴的圆;同时,圆锥面也可以看成是由所有经过顶点,并与中心轴成相同角度的直线形成的曲面。
椭圆锥面的参数方程举例:如中心轴为z轴的椭圆锥面的参数方程为
4.旋转体的体积
由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的平面区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.
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