典型习题：(080309)旋转曲面所围立体的体积

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习题分析、求解、小结讲解视频

 

 

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习题与参考答案

 

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内容小结与知识点

 

“旋转曲面所围立体的体积”相关的知识点：

1．曲面的参数方程

对于两个参数描述的一组坐标表达式

它们所构成的图形也表示空间的曲面，并把这种描述曲面图形的形式称为曲面的参数方程。

2．一般空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程

空间曲线

绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为

类似可得绕其他坐标轴旋转所得旋转曲面的参数方程。

3．常见标准曲面及其参数方程

椭球面：

参数方程：

双曲面：双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。

单叶双曲面：

双叶双曲面：

参数方程举例：

抛物面：抛物面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。

椭圆抛物面：

如果a=b，则为旋转抛物面。

参数方程举例：

双曲抛物面(马鞍面)：

参数方程举例：

二次锥面：在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

【注1】锥面由它的顶点和准线唯一确定，准线不唯一且所有母线都相交于顶点。如方程

描述的曲面图形为顶点在原点的椭圆锥面，其中心轴在分别为z轴，x轴，y轴．当a=b时为圆锥面。

【注2】圆锥面是旋转曲面，它的准线可以取为垂直于旋转轴的圆；同时，圆锥面也可以看成是由所有经过顶点，并与中心轴成相同角度的直线形成的曲面。

椭圆锥面的参数方程举例：如中心轴为z轴的椭圆锥面的参数方程为

4．旋转体的体积

由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的平面区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.