典型习题：(100508) 求闭区域上多元函数的最值

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习题解答

相关小结

“求闭区域上多元函数的最值”题型的求解思路以及相关的知识点：

(1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法

如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，如果由g(x,y)=0可以解出y=y(x)，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求f(x,y(x))的极值。

(2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法

如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，

转换为求L(x,y,λ)的无条件极值问题的必要条件得到，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法．

(3) 二元函数的条件极值的图形化方法

即借助二元函数的等值线，考察当变量(x,y)在条件方程对应的曲线上移动时，等值线对应的函数值的变化来获取极值点位置和极值，如下图。

其依据是在极值点等值线与条件方程对应的曲线相切；从而有相同的切线与法线。依据两法向量平行，对应坐标成比例，并且切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置与极值；并且推导得到拉格朗日乘子法。

(4) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法

对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数．

L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)，

将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为0，即

对于求函数f(x,y,z)在条件g₁(x,y,z)=0与g₂(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数

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