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习题解答
相关小结
“多元函数极值的判定与计算”题型的求解思路以及相关的知识点:
第一步:依据可微函数取极值的必要条件,令梯度等于0求出所有的驻点
定理 设n元函数f(X)在点X0处对各个自变量的一阶偏导数都存在,且在点X0处取极值,则有
(1) 点X0称为函数f(X)的驻点或稳定点,所以具有一阶偏导数的n元函数,其极值点必定是驻点.
(2) 假设函数f(X)在X0处可微,X0为f(X)的驻点,如果在X0的任何邻域内既存在函数值大于f(X0)的点也存在函数值小于f(X0)的点,即X0不为极值点,则称X0为函数f(X)的鞍点。
(3) 可微函数z=f(x,y)在极值点(x0,y0)处有水平切平面,且切平面方程为
z=f(x0,y0).
第二步:依据可微函数取极值的充分条件,判断驻点是否为极值点
定理 设n元函数f(X)在点X0处具有二阶连续偏导数,且
记H(X0)为f(X)在点X0处的黑塞矩阵.
(1) 如果H(X0)正定,则X0为f(X)的极小值点;
(2) 如果H(X0)负定,则X0为f(X)的极大值点;
(3) 如果H(X0)不定,则X0为f(X)的鞍点;
(4) 其他情况需要另行判定(半正定,半负定).
【注】对于二元函数,判定的充分条件为:
设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处具有二阶连续的偏导数,且
并记
则有
(1) 如果A>0,且AC-B2>0,则f(x,y)在(x0,y0)处取极小值;
(2) 如果A<0,且AC-B2>0,则f(x,y)在(x0,y0)处取极大值;
(3) 如果AC-B2<0,则f(x,y)在(x0,y0)处不取极值.
(4) 其他情况需要另行判定。
【注】对于需要另行判定的点一般用定义判断其存在,用经过(x0,y0,f(x0,y0))的特殊曲线在该点不取到极值,或者取不同曲线可能有不同性质的极值的方式判断其不存在!
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