典型习题：(100501)多元函数极值的判定与计算

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习题解答

相关小结

“多元函数极值的判定与计算”题型的求解思路以及相关的知识点：

第一步：依据可微函数取极值的必要条件，令梯度等于0求出所有的驻点

定理设n元函数f(X)在点X₀处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点X₀处取极值，则有

(1) 点X₀称为函数f(X)的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的n元函数，其极值点必定是驻点．

(2) 假设函数f(X)在X₀处可微，X₀为f(X)的驻点，如果在X₀的任何邻域内既存在函数值大于f(X₀)的点也存在函数值小于f(X₀)的点，即X₀不为极值点，则称X₀为函数f(X)的鞍点。

(3) 可微函数z=f(x,y)在极值点(x₀,y₀)处有水平切平面，且切平面方程为

z=f(x₀,y₀).

第二步：依据可微函数取极值的充分条件，判断驻点是否为极值点

定理设n元函数f(X)在点X₀处具有二阶连续偏导数，且

记H(X₀)为f(X)在点X₀处的黑塞矩阵．

(1) 如果H(X₀)正定，则X₀为f(X)的极小值点；

(2) 如果H(X₀)负定，则X₀为f(X)的极大值点；

(3) 如果H(X₀)不定，则X₀为f(X)的鞍点；

(4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)．

【注】对于二元函数，判定的充分条件为：

设二元函数z=f(x,y)在(x₀,y₀)处具有二阶连续的偏导数，且

并记

则有

(1) 如果A>0，且AC-B²>0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处取极小值；

(2) 如果A<0，且AC-B²>0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处取极大值；

(3) 如果AC-B²<0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处不取极值．

(4) 其他情况需要另行判定。

【注】对于需要另行判定的点一般用定义判断其存在，用经过(x0,y0,f(x0,y0))的特殊曲线在该点不取到极值，或者取不同曲线可能有不同性质的极值的方式判断其不存在！

基本理论、方法及矩阵正定、负定定义及判定，更多题型、例题参见：

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