典型习题：(110222)交换三重积分累次积分次序的步骤与方法

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习题解答

相关小结

“交换三重积分累次积分次序的步骤与方法”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．交换三重积分累次积分次序的可参考的基本步骤和方法

(1) 令累次积分表达式的各积分变量等于上下限，可以得到围成积分区域的六个边界曲面的方程。如果积分为几个累次积分之和，则分别写出各边界曲面方程。

(2) 根据累次积分表达式写出积分区域的不等式描述形式，确定各变量的取值范围。

(3) 根据方程绘制各边界曲面的方程，并根据不等式描述形式确定最终的积分区域。

(4) 根据被积函数或者直接给定的累次积分次序判断区域是否为对应点的简单类型，如果不是，则考虑对积分区域进行分割，分割成几个简单区域类型的并。一般分割面为变量取为常数对应的曲面；或者直角坐标系下、母线平行于坐标轴的柱面；或者以边界曲面交线为准线、母线平行于坐标轴的柱面；或者球坐标系中过边界曲面交线的锥面、球面、半平面等。

(5) 对各简单类型的子区域，写出相应的不等式描述形式，由此写出累次积分表达式。

(6) 最后求和得到最终的累次积分表达式；或者将直接计算出来的结果求和得到最终需要的结果。

(7) 如果需要转换成其他坐标系下的累次积分表达式，如直角坐标系转换为球坐标系，或者球坐标系转换为球坐标系，则根据(4)(5)的方法在对应的坐标系中考虑类型的判定和累次积分积分顺序的选取。

2．“投影法”即“先一后二”三重积分计算法的基本步骤

(1) 投影法适用于简单类型的区域；所以区域必须是简单类型，或者参考上面的(4)将其分割成简单类型区域的并，判定方法将积分区域投影到坐标面上，在投影区域内任意取点，做平行于另一坐标轴的直线穿过曲面判定。

(2) 对于简单类型，将边界曲面（上下、右左、前后）描述为型变量的函数表达式，并写出相应的最先计算变量的不等式描述形式，或区间描述形式，如

[下或左或后边界曲面的二元函数表达式，上或右或前边界曲面的二元函数表达式]

(3) 利用二重积分的计算方法，在投影区域内，计算余下的二重积分，完成计算。

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二重积分交换积分累次积分次序的基本思路与方法可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“交换积分累次积分次序的基本思路与方法”章节的详细分析与讨论。