在线课堂：间接法——函数幂级数展开的一般思路、题型与典型例题分析

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函数幂级数展开的间接法

间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，也是看到一个与函数的幂级数展开相关的问题时，首先应该考虑的方法。它一般基于以下三个最基本初等函数的幂级数展开式来探索其他函数的幂级数展开式.

间接法就是将需要展开为幂级数的函数，通过一切可能的可逆的变换、如换元、乘项、除项，加项、减项的方法，基于级数线性运算性质、逐项可导、逐项可积的解析性质的拆分、求导、求积操作，对于三角函数，则基于三角恒等式变换等，将被展开函数改写成为具有以上结构的函数表达式，然后根据它们的幂级数表达式，再通过对级数进行改写函数表达式的逆操作，在被展开函数恢复到原始被展开的函数的同时，级数也就转换为原始被展开函数的幂级数。

视频解析

例题与参考解答

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例1  将函数展开成的幂级数．

【参考解答】   将函数展开为部分分式，有

(1) 关于的幂级数：

所以

端点处不收敛.

(2) 关于的幂级数：

端点处不收敛，收敛域为．

例2  将展开成 的幂级数, 并求

【参考解答】  对函数求导，得

对上式两端积分，又

所以

当时，收敛. 所以

令，得

从级数展开式可以直接得到，且

即.

例3  将函数展开成 的幂级数．

【参考解答】   先积分，得

由于

代入得

两边求导得

所以原来函数的幂级数展开式为

端点处发散.

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