相关知识点
【注】公式显示不全时请在公式上左右滑动显示
在有限区间上定义的函数，在不指定周期的情况下，我们可以通过以下定义区间延拓为一个周期长度区间的方式，并通过补充新区间上的函数的定义，再周期延拓来计算得到傅里叶级数.
即可以通过选定周期大小不小于其定义区间长度的周期，在包含函数定义区间的周期内，在没有函数定义的区间上定义辅助函数，得到一个周期内的函数表达式。
当然，如果没有特殊要求，也可以直接取区间长度就为周期，然后将其周期延拓为一个周期函数，并将周期函数展开为自选周期的傅里叶级数，然后将傅里叶级数限定在函数定义区间内，基于狄利克雷收敛定理讨论和函数的取值，从而就得到有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开式。
并且通过一些特殊的区间延拓，还可以得到一些特殊的级数。比如函数对称区间上的奇延拓，就是通过补充对称区间上函数的定义，使得周期函数为奇函数；同样会有偶延拓来得到余弦级数。
视频解析
例题与参考解答
【注】公式显示不全时请在公式上左右滑动显示
例 设，试将展开成傅里叶级数。
【参考解答】 (1)【正弦级数】 对函数在上作周期为的奇周期延拓．
其图形如下：
由傅里叶系数计算公式，得
基于狄利克雷收敛定理，得
(2)【余弦级数】：将所作周期为的偶周期延拓．
其图形如下：
由傅里叶系数计算公式，得
于是由狄利克雷收敛定理，得
【注】函数在整个包括端点的定义域上都可以展开为余弦级数.
(3)【一般级数】：在上定义函数为，并做周期为的周期延拓．
其图形如下：
由傅里叶系数计算公式，得
正好都是上面计算得到的系数的一半. 于是由狄利克雷收敛定理，得
(4)【周期为的级数】：周期，各周期区间内图形如下：
由傅里叶系数计算公式，得
由狄利克雷收敛定理，得
【注】 在不指定周期的情况下，还可以将其展开为任意周期长度大于 的傅里叶级数.
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