相关知识点
【注】公式显示不全时请在公式上左右滑动显示
在有限区间上定义的函数,在不指定周期的情况下,我们可以通过以下定义区间延拓为一个周期长度区间的方式,并通过补充新区间上的函数的定义,再周期延拓来计算得到傅里叶级数.
即可以通过选定周期大小不小于其定义区间长度的周期,在包含函数定义区间的周期内,在没有函数定义的区间上定义辅助函数,得到一个周期内的函数表达式。
当然,如果没有特殊要求,也可以直接取区间长度就为周期,然后将其周期延拓为一个周期函数,并将周期函数展开为自选周期的傅里叶级数,然后将傅里叶级数限定在函数定义区间内,基于狄利克雷收敛定理讨论和函数的取值,从而就得到有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开式。
并且通过一些特殊的区间延拓,还可以得到一些特殊的级数。比如函数对称区间上的奇延拓,就是通过补充对称区间上函数的定义,使得周期函数为奇函数;同样会有偶延拓来得到余弦级数。
视频解析
例题与参考解答
【注】公式显示不全时请在公式上左右滑动显示
例 设,试将展开成傅里叶级数。
【参考解答】 (1)【正弦级数】 对函数在上作周期为的奇周期延拓.
其图形如下:
由傅里叶系数计算公式,得
基于狄利克雷收敛定理,得
(2)【余弦级数】:将所作周期为的偶周期延拓.
其图形如下:
由傅里叶系数计算公式,得
于是由狄利克雷收敛定理,得
【注】函数在整个包括端点的定义域上都可以展开为余弦级数.
(3)【一般级数】:在上定义函数为,并做周期为的周期延拓.
其图形如下:
由傅里叶系数计算公式,得
正好都是上面计算得到的系数的一半. 于是由狄利克雷收敛定理,得
(4)【周期为的级数】:周期,各周期区间内图形如下:
由傅里叶系数计算公式,得
由狄利克雷收敛定理,得
【注】 在不指定周期的情况下,还可以将其展开为任意周期长度大于 的傅里叶级数.
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