在线计算专题(11)：线性代数中线性方程组的解的存在性与向量空间相关问题的求解

本文将以实例的形式，基于Wolfram Alpha计算搜索引擎，介绍了线性方程组解的存在性、解的计算，向量组的线性相关性，最大无关组、基向量与向量的基向量坐标表示以及向量组的标准正交化等相关问题的实现方法.

目录：

• 1、线性方程组解的存在性判定与求解
• 2、矩阵的行最简形和向量值等价
• 3、向量组的线性相关性与最大无关组
• 4、向量组的基向量与向量的基向量坐标
• 5、向量组的标准正交化

• 工具：WolframAlpha计算搜索引擎

• 位置：http://www.wolframalpha.com，打开网页直接操作，其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装！

特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

• 手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

• 执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.

1、线性方程组解的存在性判定与求解

借助计算公式判定解的存在性直接求解就可以，得到解则表示解存在，否则解不存在. 并且求解线性方程组求和之前初等数学部分介绍方程求解一样，可以直接输入方程求解，也可以输入矩阵描述形式求解.

例1 判定如下方程组是否有解，如果有解，则求其解.

参考输入表达式为

solve {{1,2,2,1},{2,1,-2,-2},{1,-1,-4,-3}}.{x1,x2,x3,x4}={0,0,0}

或者直接输入方程

solve x1+2x2+2x3+x4=0,2x1+x2-2x3-2x4=0,x1-x2-4x3-3x4=0

执行计算得到的结果如下.

即取为任意实数的通解描述.

例2  判定如下方程组是否有解，如果有解，则求其解.

参考输入表达式为

solve {{1+a,1,1},{1,1+a,1},{1,1,1+a}}.{x1,x2,x3}={0,3,a}

执行计算得到的结果如下.

结果显示，当时，方程有无穷多解，且解可以描述为

当且，则方程组有惟一解，解为

其他情况没有解.

2、矩阵的行最简形和向量值等价

例1 将以下矩阵化为行的最简形.

参考输入表达式为

row reduce {{2,-4,5,3},{3,-6,4,2},{4,-8,17,11}}

执行计算得到的结果如下.

结果后面会给出矩阵的秩为2，从最简形也可以看到其秩为2.

例2  证明向量组与向量组等价，其中

两向量组等价，则只要两个向量组构成的列矩阵秩相等且等于两者构成的列矩阵的秩，即

直接将五个向量构成的列矩阵化为行的最简形即可判定. 对应参考输入表达式为

row reduce {{1,3,2,1,3},{-1,1,0,1,-1},{1,1,1,0,2},{-1,3,1,2,0}}

执行计算得到的结果如下.

从结果可以看到

进一步输入

row reduce {{2,1,3},{0,1,-1},{1,0,2},{1,2,0}}

可得，即两个向量组等价.

3、向量组的线性相关性与最大无关组

例1 判定以下向量值的线性相关性.

参考输入表达式为

is (1,1,1),(0,2,5),(2,4,7) independent

执行计算得到的结果如下.

结果不仅告诉我们三个向量是线性相关的，而且给出它们的扩展子空间描述，线性组合等于0的等式和一个最大的线性无关组.

例2  求以下矩阵列向量组的一个最大无关向量组.

并将不属于最大无关组的列向量用最大无关组的向量表示.

参考输入表达式为

linearly independent (2,1,4,3),(-1,1,-6,6),(-1,-2,2,-9),(1,1,-2,7),(2,4,4,9)

执行计算得到的结果如下.

最后一行为最大无关向量组，记列向量为

则第1、2、4个向量构成的向量组为最大无关组. 为了得到另外两个向量的最大无关组描述，输入如下表达式

row reduce transpose((2,1,4,3),(-1,1,-6,6),(-1,-2,2,-9),(1,1,-2,7),(2,4,4,9))

执行计算后得到的结果如下

从列向量矩阵的行的最简形可以得到

4、向量组的基向量与向量的基向量坐标

例1 验证向量是的一个基，并求在这个基中的坐标. 其中

参考输入表达式为

row reduce (1,2,-1,3,2),(2,-1,2,2,3),(-1,3,4,-4,-2)

执行计算得到的结果如下.

从结果可以看到是的一个基，且

例2  设的两个基如下：

(1) 求由基到基的过渡矩阵；

(2) 设向量在基中坐标为，求其在基中坐标.

(1) 由基到基的过渡矩阵为，所以直接将矩阵

转换为行的最简形即得过渡矩阵，于是参考输入表达式为

row reduce (1,1,1,1,2,3),(0,1,1,2,3,7),(0,0,1,1,3,1)

执行计算得到的结果如下.

蓝色方框里面的矩阵即为过渡矩阵.(2) 在的坐标即，于是参考输入表达式为

(inverse {{-1, -1, -4}, {1, 0, 6}, {1, 3, 1}}).(-2,1,2)

计算后得到结果为 .

5、向量组的标准正交化

例1  将以下向量值标准正交化.

参考输入表达式为

orthogonalize (1,2,-1),(-1,3,1),(4,-1,0)

执行计算得到的结果如下.

得到的标准正交化后的向量为

例2  求两个非零向量，使得其与向量两两正交，并将它们标准正交化.

设两个非零向量的坐标，则其应该满足

由此得，因此取

参考输入表达式为

orthogonalize (1,2,3),(-2,1,0),(-3,0,1)

执行计算得到的结果如下.

因此，三个向量对应的标准正交化向量组为