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参考答案
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练习305：计算极限
参考解答：
【思路一】(泰勒公式法) 由于分子的两个函数为等价无穷小相减，并且拆分为两项的差极限不存在，因此无法直接使用等价无穷小替换. 如果使用洛必达法则，则计算又非常复杂. 所以，我们还是考虑使用基本初等函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式公式来计算. 这里虽然出现的是两个复合的三角函数，但是展开式我们只用两个基本初等函数，正弦函数与正切函数. 由于分母中出现的幂函数的次数为3，所以只需要考虑使用三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式. 于是有
将以上变量分别用相应的正切、正弦函数替换，于是可得
由于
所以原极限为
再一次将函数展开成3阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式
所以有
即
当然，以上分子带皮亚诺余项的麦克劳林公式也可以直接通过计算分子的函数在处的函数值、一阶、二阶、三阶导数值，直接由公式
得到带皮亚诺余项的麦克劳林公式公式来计算。
【注】：通过一系列函数极限的计算方法，发现使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式公式在求自变量趋于0的函数极限问题中确实不失为一种有效的方法。
【分析二】(三角恒等式变换，等价无穷小方法) 通过加项、减项统一函数结构，转换为熟悉的表达式，然后借助三角很等式变换和基本求极限方法计算函数极限. 具体步骤如下：分子加、减 项，并考虑分式拆项，由极限的减法运算法则（后向验证），得
对于两个极限分别计算，得
所以最终的结果为
【注】：其中用到的相关三角恒等式为
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