第04讲高等数学预备知识：曲线参数方程与极坐标方程

一、平面曲线的四种可能描述

1、一元函数：

2、二元方程：

3、参数方程：

4、极坐标方程：

【注】一元函数是二元方程的一种特殊情形.

二、关于参数方程

1、平面上动点的运动形成的轨迹为平面曲线

2、描述曲线的参数方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程的描述，描述形式不唯一

3、对于一元函数、平面直线、圆、双曲线、抛物线的参数方程要熟练掌握

4、对于一元函数，直接令自变量为参数可以直接写出参数方程.

5、参数方程消去参数可以得到直角坐标方程.

三、关于极坐标

1、一般地，从极轴出发按逆时针方向测量出的极角取正值，按顺时针方向测量出的极角取负值．原点处ρ=0.

2、直角坐标与极坐标之间的关系确定基于极坐标极点对应直角坐标原点，极轴与x的正半轴重合. ρ≥0，θ的变化范围通常取[0,2π]或者[-π, π]. 借助两者之间的关系可以实现直角坐标方程与极坐标方程的相互转换.

3、极坐标方程描述曲线的形式一般为ρ=ρ(θ)，也可以描述为θ=θ(ρ).

4、极坐标方程也可以转换为参数方程描述，直接取极角为参数，则极坐标方程及对应参数方程为

5、极坐标方程与直角方程之间互相转换时注意一一对应关系，即一般限定ρ≥0和θ的变化范围取为[0,2π]或者[-π, π].

6、实际应用中极坐标方程描述的曲线上的点坐标的范围不受极坐标系中的范围限制，即ρ，θ都可以取全体实数，从而极大地扩大了可描述的曲线范围.

四、参数方程与极坐标方程图形的绘制

参数方程与极坐标方程描述的曲线图形相对来说比较复杂，一般很难利用描点的方式绘制其图形，所以一般借助于数学软件来完成. 具体绘制方法可以参见如下推文：

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