第13讲：《隐函数与参数方程的导数、相关变化率》内容小结、课件与典型例题与练习

长沙橘子洲大桥

一、隐函数的导数

隐函数：函数关系隐含在某个由两个变量确定的方程(等式)中．两个变量之间的函数关系描述可以是显函数y=f(x)，可以是隐函数F(x,y)=0，也可以是参数方程或者极坐标方程.  

 

有些由方程确定的隐函数可以解出y=f(x)或x=g(y)显函数描述形式，有些则不能. 不管能不能显式化，基于复合函数求导法则和对等式两端同时关于同一变量求导数等式依然成立，可以求得y关于x的导数，或者x关于y的导数.

 

【注1】记住一条原则：在关于视为自变量的符号求导时，另一变量（因变量）是求导变量的函数，对因变量表达式求导应该先对因变量求导，再乘以因变量关于自变量的导数. 求隐函数的导数，导数结果既可以包含有自变量符号，也可以包含有因变量符号.

 

【注2】基于隐函数求导思路，通过对函数等式两端取对数，可以将具有幂指结构的函数，连乘, 连除描述的函数等，一些适用于对数函数性质简化描述的函数，可以采用先取对数再求导的方式来得到原来函数的导数. 其变换描述形式可以参见上一讲的对数求导法：第12讲 《导数的基本运算法则与高阶导数》内容小结、课件与典型例题与练习.

二、参数方程所确定函数的导数

参数方程求导，一般一阶导数计算考虑公式，二阶及以上的导数建议直接在低阶导数表达式的基础上基于复合函数求导法则直接求导！

求导过程中记住：如果表达式不是求导变量的函数，则一般是先对表达式本身的变量求导，再乘以其变量关于求导变量的导数.

三、极坐标方程确定的函数导数

极坐标方程确定的函数y=y(x)的导数转换为参数方程求导来计算导数：

四、变化率模型的构建

给自变量一个增量，研究因变量所产生的增量，即

得到增量比求极限

即得变化率模型. 参见课件中的密度模型的构建思路.

五、相关变化率

在多个变量确定的等式关系中，一个变量的变化会导致其余变量发生相应的变化. 因此，这些变量关于同一变量的变化率之间也满足一定的关系，研究变化率之间关系的问题也就称为相关变化率问题． 

 

解决相关变化率问题的一般步骤可以概括为：

1、引入相关符号（数据、变量）标注、描述数据，统一量纲；

2、建立相关变量之间的等式关系；

【注】能够画图的一定画图，并将数据标注在图形中，图形有助于关系式的建立；

3、对所建立的等式两端函数变量关于共同的变量（一般为时间t，或其它属性的变量）求导数，得含有导数的关系式；

4、根据已知条件，代入已知数据，计算出要求的变化率（导数）．