本文对应推文内容为：
第21讲：曲率与方程的近似解
【注】相关推文可以直接参见公众号底部菜单“高数线代”中的“高等数学概率其他"选项，在打开的高等数学面板中的各章节推文列表中可以看到所有相关历史推文，或者直接点标题下的”话题：例题练习参考解答“链接.
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算曲线在点处的曲率.
练习2：试问椭圆 在何处曲率最大(其中)？
练习3：求圆滚线 上点 处的曲率.
练习4：求的曲率半径 ，并分析何处 最小?
练习5：如果两曲线 及 在点 处有
及 ，则称这两曲线在点 处有 阶相切（或 阶接触）. 设圆周
与已知曲线在点处有不低于二阶的相切，试推导出圆的半径 及中心 的表达式（假定 ）.
练习6：求摆线 的渐屈线方程.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算曲线在点处的曲率.
【参考解答】：由, . 代入 ，得 , . 故由曲率计算公式，得
练习2：试问椭圆 在何处曲率最大(其中)？
【参考解答】：【思路一】 由参数方程求导方法，有
由曲率计算公式，得
问题转换为求函数
的最小值. 令
则在区间内得 . 于是计算 , , , , 的值，得五点的函数值分别为, , , , . 由于 ，故最小值为. 即
也即椭圆在点 处曲率最大.
【思路二】 椭圆的直角坐标方程为
则由隐函数求导方法，得
代入曲率计算公式，且由 ，得
得 .
练习3：求圆滚线 上点 处的曲率.
【参考解答】：由参数方程求导方法，可得
在点处对应的参数，故在该点处有
所以，该点的曲率为
练习4：求的曲率半径 ，并分析何处 最小?
【参考解答】：由, ，则由曲率半径计算公式，有
故当 时曲率半径取最小值，且最小值为 .
练习5：如果两曲线 及 在点 处有
及 ，则称这两曲线在点 处有 阶相切（或 阶接触）. 设圆周
与已知曲线在点处有不低于二阶的相切，试推导出圆的半径 及中心 的表达式（假定 ）.
【参考解答】：由圆的方程两边对 求一次、二次导数，得
由此解得
代入圆的方程并化简得
由于在已知在点 处，
从而可得圆心坐标和半径分别为
【注】：以上计算得到的圆即为函数 描述的曲线在点 处的曲率圆，得到的圆心坐标和半径分别为曲率中心的计算公式和曲率计算公式.
练习6：求摆线 的渐屈线方程.
【参考解答】：曲线的渐屈线方程即曲线的曲率中心形成的轨迹. 曲率中心坐标的计算公式为
由参数方程求导方法，得
代入以上公式则得曲率中心的参数方程
相关推荐
高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项
联系客服
