每日一题349：一道大学生数学竞赛连乘通项常值级数敛散性的判定及推广证明

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习349：(1) 研究级数的绝对收敛性.

(2) 设，证明以下两个级数都绝对收敛：

(3) 证明以下两个级数都绝对收敛：

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习349：(1) 研究级数的绝对收敛性.

(2) 设，证明以下两个级数都绝对收敛：

(3) 证明以下两个级数都绝对收敛：

【说明】：其中第(1)题为2020年全国大学生数学竞赛河南省决赛（数学类A、B卷）的第八题，(2)(3)题是对该题的推广性的结论。试题及参考解答由陈老师分享，在此表示感谢。试卷完整内容及详细参考解答参阅如下两个推文：

【参考解答】：(1) 记，由

与平均值不等式，有

注意到，对

，当时，有

进而，有

由此可知，当时，有

所以

再注意到，利用根值（或比值）判别法可知，正项级数收敛，从而原级数绝对收敛.

(2) 重复上面的证明过程可知，，当时，有

注意到和收敛性可知，绝对收敛.

下证：的绝对收敛性.

记，利用平均值不等式，有

注意到，对

，当时，有

进而，有

由此可知，当时，有

所以绝对收敛.

(3) 由

利用正项级数的比较判别法知，两个级数都绝对收敛.

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适用于数学专业考研和全国大学生数学竞赛数学类和非数学类竞赛参考！

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