【精选博文】FPGA定点小数计算（一）

所谓定点小数，就是小数点固定地隐含在某一位置上的数据。由于小数点的位置是固定的，所以就没有必要储存它（如果储存了小数点的位置，那就是浮点数了）。而小数的具体位置则完全是由程序设计者自己决定的，因此，对于定点小数的处理，完全可以采用普通整数的处理方式。

　　下面我们来简单地聊一聊定点小数的常规格式、相对于浮点小数的优势与劣势，以及如何使用Lattice ECP3/ECP5的sysDSP乘法器来实现基本的定点小数运算（加法和乘法）。并会在后续的文章中介绍定点小数的除法、平方根、平方根倒数和CORDIC算法的基本理论和HDL的实现等。

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定点小数的常规格式

　　常规的定点小数格式如下图：

　　

　　其中，有符号定点小数的值可以表示为：

　　

　　无符号定点小数的值可以表示为：

　

　　定点数的位宽w和小数部分的位宽wf可以看做是定点数的两个要素。其中，w决定了定点数的动态范围，wf决定了定点数的精度。需要注意的是，在进行定点数运算的时候，需要注意数值溢出的问题（包括向上溢出和向下溢出）。所谓向上溢出是指运算结果超出了定点数整数部分所能表示的范围，向下溢出表示运算结果超出了定点数小数部分所能表示的范围。显然，一旦溢出将会造成计算精度的丢失，甚至是计算结果的错误。因此，合理地选择w和wf至关重要，w和wf的值过大会浪费资源，过小又会造成精度丢失。

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定点数与浮点数的比较

　　与浮点数相比，定点数具有如下的一些优势：

　　（1）更少的资源

　　通常在FPGA中进行浮点运算时，会消耗更多的LUT、寄存器和乘法器。定点数由于不需要存储小数点的位置，所以定点数的运算消耗的资源基本上和同样位宽的整数运算相当，远远低于浮点运算的开销。

　　（2）更高的性能

　　浮点运算在消耗更多资源的同时，也会给MAP和PAR带来压力，从而导致整个设计的Fmax降低。在同样规模的运算量下，采用定点数的设计则可以获得更高的Fmax。

　　与此同时，相对于浮点数，定点数也有很多的缺陷和不足：

　　（1）能够表示数值的动态范围较小

　　（2）数值溢出的问题

　　浮点数由于采用了统一的格式（IEEE-754），且动态范围很大，因此基本不存在数值溢出的问题。但是定点数则需要程序设计中合理地选取w和wf的值，并且没有统一的格式规范也为复杂程序的协同设计带来麻烦。

　　从应用的需求来看，很多场合下，采用定点数即可满足系统的性能需求，但是也有一些场合对精度的要求很高，如雷达成像，医学成像，高精度数据采集与分析等则需要采用浮点数进行运算。

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ECP3/ECP5 中的sysDSP乘法器

　　Lattice的ECP3/ECP5系列FPGA内部集成了多个sysDSP架构的乘法器模块，基于sysDSP，用户可以便捷地设计出低功耗高性能的数字信号处理应用。相比于用LUT实现的乘法器，基于sysDSP的乘法器具有显著的性能优势。此外，Lattice还提供了多种基于sysDSP的IP，如FFT、FIR和CIC等。

　　ECP5中sysDSP的Slice结构图如下图所示：

　　

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定点小数的加法与乘法

　　定点小数的加法与乘法运算基本上和普通整数的加法与乘法一致，但是需要注意运算结果的w和wf的与原值的w和wf之间的对应关系。

　　下面来举一个简单的例子：两个32位的有符号定点小数相乘，其中w=32，wf=23。即

　　

　　此时，

　

　　我们可以直接使用Clarity来生成整除乘法器的Module，如下图所示。其中符号位可以提取出来进行异或操作，剩余的31位进行乘法运算。

　

　　如果需将运算结果也转换为和输入相同的格式，则可以进行如下的操作：

　　

　　上面的例子，是将有符号数转换为无符号数，再进行运算的（即采用原码直接运算的）。实际上，我们还可以直接将MULT的Module中的Data Type配置为Signed，此时操作数将以补码的形式进行运算。