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本章主要内容:
● 三角函数在小数、大数以及其他变量值时的行为;
● 三角函数的导数;
● 简谐运动.
▌7.1 三角函数的极限
考虑下面两个极限, 唯一区别是, 左边极限考察的是在
趋于 , 而右边在 趋于无穷大取的极限. 也就是需要留意是在很小很小数, 还是很大很大的数上取得极限.
▌7.1.1 小数的情况
事实表明,
和 在 附近近似相等, 观察下面 在 和 直接的图形, 当 非常非常小的时候, 近似等于 , 那么 成立.▌7.1.3 大数的情况
▌7.1.4 "其他的"情况
如果计算
趋于 的极限, 这里 , 这里有一个解决的方法, 就是用 做替换, 将问题转化为 趋近于 , 比如下面的例子:▌7.1.5 一个重要极限的证明
▌7.2 三角函数的导数
现在把所有三角函数以及反三角函数做个总结(公式自: 中文维基百科).
▌7.2.2 简谐运动(Simple harmonic motion)
三角函数经常会用来描述弹簧的震荡运动. 设 是弹簧振子在时刻 的位置, 取向上的方向作为正方向, 那么描述 的方程大致类似于 . 类似也可以用余弦来代替, 因为两者总是来回震荡, 而这类运动就被称为简谐运动.
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