2022加拿大数学奥林匹克 中文翻译

高级组

1.设实数满足

.

求的值.

2.设表示正整数的正因数个数. 例如, 有四个正因数, 所以.求证: 对任意正整数,均有

3.已知 为正整数. 初始时, 黑板上写有个. 对他们进行如下操作: 每一步中, 在黑板上任选两个数, 将其擦除, 并写下或 . 经过步操作之后， 黑板上只剩下一个数。设这个数的最大值为. 求证:

4.给定为正整数. 条互异的直线将平面划分为若干个区域. 若其中任意三条直线不共点, 就称这个划分是"好的". 所谓"着色", 是指从颜色集合 与中各选取一种颜色, 将它们填入某个区域中. 对一个"好的"划分, 如果存在一种"着色"方式, 使得:
(1)任意一种颜色都不会被填入相邻(指有公共边)的两个区域;
(2)对任意 和 ， 一定存在一个区域，使得这个区域被 , 这两种颜色着色.
就称这个划分是"可上色的". 求所有的, 使得条直线的任意一个"好的"划分, 都是"可上色的".

5.凸五边形既有外接圆也有内切圆.从中任选三个顶点, 可以组成个三角形,这个三角形共有个内心. 求证: 可以作两个同心圆, 使得这个内心均在这两个圆上.

初级组

1.锐角内接于圆.过作的垂线与交于点, 过作垂线与交于点 若, 证明 .

2.需要用若干个"丁四"方块(如下图所示)覆盖一个的网格表. 覆盖的过程中, 各个"丁四"不能互相重合, 也不能有超出网格表边界的块. 那么, 当为何值时, 可以完全覆盖的网格表?

3.同高级组第一题

4.同高级组第二题

5.同高级组第三题

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