题1.如图, 给出一段长度为的线段, 上面标有个点, 将线段分成个长度为1的线段. 画出个半圆弧, 其中每个半圆弧的端点是20个标记点中的两个, 满足以下条件：
个直径为的弧形;
个直径为的弧形;
个直径为的弧形;
个直径为的弧形.
每个标记点正好是两个弧形的端点：一个在线段上方, 一个在线段下方.
不能有两个不同的弧形交叉, 除非在它们的端点处交叉.
不能有两个不同的弧形连接同一对点. （即不能有完整的圆）
已经为您绘制了三个弧形.
有一个唯一的解, 但您不需要证明您的答案是唯一可能的. 您只需要找到一个满足问题条件的答案. （注意：在任何其他USAMTS问题中, 您需要提供完整的证明. 只有在这个问题中, 无需证明. ）
题2.给定一个球, 球面上的一条大圆是指是球面上的圆, 其直径也是球的直径. 对于给定的正整数, 球面被个大圆分割成若干个区域, 每个区域都被染成黑色或白色. 我们称染色是好的, 如果任何两个相邻的区域（共享一段弧作为边界, 而不仅仅是一些有限的点）具有不同的颜色. 找到并证明所有正整数, 使得在用个大圆进行任何好的染色中, 黑色区域的面积之和等于白色区域的面积之和.
题3.证明：存在一个唯一的, 满足以下条件的进制下的位数字：
的所有数字（在进制下）均为或；
是10进制数字的倍数.
（请注意, 你必须证明这样一个数存在, 并且不存在超过一个这样的数. 你不需要写下这个数！事实上, 请不要这样做！）
题4.甲和乙在使用一副由到编号的张牌的牌组玩游戏. 他们轮流进行, 甲先行动. 在每个回合, 玩家从牌组中选择一张牌 - 这个选择是有意为之, 不是随机的 - 然后将其添加到两堆中的一堆（游戏开始时两堆都为空）. 所有张牌都被放在了两堆中后, 每堆中牌的面值被相加, 并且乙将获得两堆的正差值, 以美元计算. （例如, 如果第一堆的牌的总和为, 而第二堆的牌的总和为, 则乙赢得元. ）乙希望赢得尽可能多的钱, 而甲希望乙赢得尽可能少的钱. 如果他们都采用完美的策略玩, 找出（并证明）乙赢得的金额.
题5.我们称正整数 是六派的, 如果 , 其中 和 是质数. 例如, 是六派数, 但是 不是六派数.
定义一个函数 , 使得 是 的正因数的平方和. 例如, .
找到一个具有整系数的不可约多项式函数 , 并证明 对于所有六派数 都有 . （“不可约”意味着 不能被分解为较小次数的两个整系数多项式的乘积. ）
我们称正整数 是伪六派的, 如果 不是六派数, 但仍然满足 , 其中 是你在问题 (a) 中找到的多项式函数. 找到所有伪六派正整数并给出证明.
题1.在下面的方格中填上数字到, 每个数字只能使用一次, 且遵循以下约束条件：
每个被涂暗的方格都包含偶数, 每个未被涂暗的方格都包含奇数.
对于任何共用边的一对方格, 如果和是这些方格中的两个数字, 则 或 .
已经填好了四个数字.
题2.格罗格最喜欢的正整数是 , 他有一枚幸运硬币, 这个硬币翻开正面的概率是定值 , 其中 $0<p<1$. 每天,="" 格罗格会翻一次硬币,="" 如果硬币翻开正面,="" 他会做两件事情：<="" p="">
1.他会吃一个饼干.
2.然后, 他会再翻 次硬币. 如果这 次翻硬币的结果是 个正面和 1 个反面（顺序无所谓）, 他会再吃一个饼干.
他只有在硬币翻开正面的情况下才会吃饼干. 找出所有可能的 和 的值, 使得格罗格每天吃饼干的期望值恰好为 .
题3.设 为正整数, 甲 和 乙 玩一个游戏. 甲 选择 个正整数（不一定相同）, 将它们写在黑板上, 然后什么也不做. 接着, 乙 可以选择其中一些数（但不能选全部）, 然后将其替换成它们的平均数. 例如, 如果 , 甲 在黑板上写下的数字为 , 那么在第一轮中 乙 可以选择 这三个数, 将它们删去, 然后用 替换它们, 于是黑板上的数字就变成了 . 乙 可以随意重复上述过程, 选择一些数进行平均操作. 如果最终黑板上的所有数字都相等, 那么 乙 就赢了这个游戏. 找到所有满足无论 甲 选择什么数字, 乙 都可以赢得游戏的正整数 .
题4.平面直角坐标系中的格点是指两个坐标都是整数的点. 设为正整数, 找到最小的正整数（可能依赖于）, 使得满足以下两个条件的每个格点都可以用种颜色中的一种进行着色：
如果和是两个不同但相邻的点, 即且, 则和必须是不同的颜色.
如果和是两个坐标满足且的格点, 则和必须是相同的颜色.
题5.设 和 为正实数, 且点 在坐标平面上. 求一点 , 其坐标用 和 表示, 满足以下条件：如果 是线段 内部的点, 和 再次交于点, 那么点 一定在直线 上.
题1.在 方格中, 标记 8 个方格为 和 8 个方格为 , 并满足以下条件：
没有任何方格同时被标记为 和 .
每一行和每一列恰好包含一个标记为 的方格和一个标记为 的方格.
带有星号或空心圆标记的方格不能被标记为 或 .
如果一个带有星号或圆圈标记的方格可以在水平或垂直方向上沿直线从该标记点到标签为 或 的方格移动, 并且不穿过其他带有 或 标记的方格, 则我们称该方格可以看到 或 标签. 可以穿过其他带有星号或空心圆标记的方格. 根据这个定义：
(a) 每个带有星号的方格必须看到恰好两个 和一个 .
(b) 每个带有圆圈标记的方格必须看到恰好一个 和两个 .
题目有唯一解, 但你不需要证明你的答案是唯一可能的答案. 你只需要找到一个符合题目条件的答案就可以了. （注意：在其他的 USAMTS 题目中, 你需要提供完整的证明, 只有在这个问题中, 无需证明. ）
题2.设 表示正整数集合. 确定是否存在一个函数 , 使得对于所有正整数 都满足以下条件：
并给出证明.
题3.一个正整数 被称为是好的, 如果有恰好 个正整数 满足以下方程
其中 表示小于或等于 的最大整数. 找出所有好的整数并给出证明.
题4.设 是以 为圆心, 半径为 的圆, 是一点, 满足 .
若对于所有以 为外接圆, 以 为垂心的三角形 , 点 均在 上或在 的内部, 则称点 是舒适的. 求所有舒适的点组成的区域的面积.
题5.格点是指坐标平面上横纵坐标均为整数的点. 请证明或证伪：存在一个有限的格点集合 , 使得对于平面上斜率为 或未定义的每条直线 , 和 要么恰好相交于2022个点, 要么不相交.
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