2023亚洲太平洋地区数学奥林匹克(APMO)中文翻译

1.设 是一个整数。考虑边长分别为 的 个正方形。这些正方形在平面上排列，边平行于 轴和 轴。假设除了在它们的顶点处可能接触到对方，没有两个正方形互相接触。证明：可以将这些正方形排列在一起，使得每个正方形恰好接触两个其他正方形。

2.找到所有满足条件 且 的整数 ，其中 表示 的所有正因子的和， 表示 的最大素数因子。

3.设 是一个平行四边形。设 分别是边 上的点，使得三角形 的内心组成一个平行四边形。证明 是一个平行四边形。

4.设 是给定的正实数， 是所有正实数的集合。找到所有满足下面条件的函数 ：对于任意 ，都有 。

5.在平面上有 条线段，没有三条线段在同一点相交，而且每一对线段在各自内部相交一次。托尼和他的 个朋友各站在一条线段的不同端点上。托尼希望按照以下方式给他的每个朋友送圣诞礼物：
首先，他选择每条线段的一个端点作为“汇点”。然后，他把礼物放在他所在的线段的端点处。礼物的移动方式如下：
如果它在一条线段上，它就朝着汇点移动。
当它到达两条线段的交点时，它会改变它所在的线段并开始朝着新的汇点移动。
如果礼物到达了一个端点，那个端点上的朋友就可以收到他们的礼物。
证明托尼可以给他的 个朋友中的恰好 个送礼物。