2023年爱尔兰数学奥林匹克 中文翻译

测验一

1. 我们有一个三角形ABC，其中∠BAC小于90°。点D在直线AB的异侧，且AD=BD，∠ADB=90°。同样，点E在直线AC的异侧，且AE=CE，∠AEC=90°。点X满足ADXE是一个平行四边形。证明|BX|=|CX|。

2. 对于n≥3，特殊的n元三角形是一个有n个不同数字的三角形，使得每条边的数字之和相同。例如，因为41+23+43=43+17+47=47+19+41，以下是一个特殊的3元三角形：

   

   注意，特殊的n元三角形包含3(n-1)个数字。称无穷集A是特殊的，如果对于每个n≥3，A中的最小3(n-1)个数字可以组成一个特殊的n边三角形。证明不是223的倍数的正整数集合是特殊的。

3. 假设是一个圆上的五个点，满足和。线段和相交于。记为线段的中点。证明以为圆心，为半径的圆通过线段的中点。

4. 找到所有函数,使得对于任意满足的实数,均有：

5. 正整数满足以下条件：
   (i)
   (ii)
   (iii)
   假设每一个数都能被整除，证明每一个数都能被整除。
   
   

测验二

6. 一个正整数如果它的各位数字之和（十进制表示）是一个平方数，我们称它为完全平方数。例如，是完全平方数，因为，但是不是完全平方数。
   证明存在无穷多个正整数，它们不能表示成两个完全平方数之和。

7. 在以下游戏中，甲和乙轮流进行移动。在游戏开始之前，数字被写在一张纸上。甲先行。从一个正整数进行移动的操作可以是将替换为或者，其中是的一个质因数。
   赢家是第一个将写下来的玩家。
   确定甲或乙是否有获胜策略。

8. 假设是正实数，且。证明下列不等式成立并确定等号成立的情况：

9. 三角形有外心和外接圆。设是的直径。射线延长至第二次与的外接圆交于点。

设和分别垂直于，其中和位于上。设是的中点。

(a) 证明。(b) 证明与平行。

10. 丙和丁玩一个叫篮球射击赛的游戏。游戏由10轮组成。每一轮中，丙和丁同时向对方的篮筐投球。如果一个球掉进篮筐，该玩家得1分；否则，得0分。记分牌显示了每一轮中每个玩家的得分序列。
    已知在游戏的每一轮之后，丙的总得分都至少与丁一样多。证明可能的记分牌的情况的个数可以被4整除但不能被8整除。