2021哈佛-麻省数学竞赛春季赛 组合组 中文翻译

我之前翻译了这次比赛的另外两场：

2021哈佛-麻省数学竞赛春季赛 团体赛 

2021哈佛-麻省数学竞赛春季赛 代数数论组 

组合组

比赛时间: 2021年3月6日

1.将一个的棋盘用黑白相间的方式染色. 狐狸里欧将这个数字逐个填入每个单元格中, 使得任意两个连续的正整数都位于相邻的单元格中(这里的相邻指有公共边). 随后, 他计算与中央单元格颜色相同的个单元格的数字之和. 求里欧可能得到的和的最大值.

2.艾娃和蒂凡尼报名参加了一个有个选手参加的淘汰赛. 比赛共轮, 在每轮中, 所有选手被随机分配到一个对手进行比赛, 随后这两个人中的失败者被淘汰, 胜利者进入下一轮. 若艾娃在比赛中遇到蒂凡尼的概率为 , 其中为互素的正整数, 求 的值.

3.给定正整数, 迈克尔和克里洛各自随机选择一个不超过的正整数. 设表示他们所选的数的乘积个位为的概率. 对所有不同的, 设的最大值可以表示为, 其中为互素的正整数, 求 的值.

4.集合.求满足以下条件的函数 的个数:
对任意 .
对任意不能被整除.

5.小兔子特蕾莎有一个均匀的八面体骰子. 其中七个面上的数字分别为,第八面的数字是可变的, 初始值为. 她掷了若干次骰子, 直到分别出现至少一次为止. 在每次投掷后, 若为当前尚未被掷出的数字的最小值, 则她将第八面的数字改成. 设特蕾莎最后一次掷出的数字为的概率为, 其中为互素的正整数, 求 的值.

6.一个正方形的某个顶点处朝内部射出了一道光. 这道光在遇到正方形的边会反射, 直到它下一次到达正方形的某个顶点为止. 已知这道光一共反射了次, 其轨迹将正方形恰好分割成了个区域. 求的最小值.

7.集合 ,   表示所有函数所组成的集合.  对函数 , 设

{}
求被素数除的余数.

8.有一个的网格表, 现在需要在每个单元格中写下字母之一, 使得每个的小方块中的四个字母恰为的某种排列. 求符合以上条件的写法的个数.

9.对平面上的整点 , , 称从点出发, 每一步均为向右或向上移动一个单位, 最终到达点的路径为到的右上之路. 给定两个点 和 , 以及直线, 求所有到的右上之路的个数, 满足这条路径恰有一个部分位于该直线下方.

10.朱迪重复掷某个硬币. 若他已经掷出了次正面, 则下一次硬币正面朝上的概率为, 正面朝下的概率为 . 若朱迪一直不停的掷, 设他在某个时刻连续掷出次正面朝上的概率为. 求 .