引言

2021 年中国数学奥林匹克竞赛已经结束，本文分享第六题的详细解答，适合高中学历的读者。

问题

对整数

，设

为多项式

的展开式系数中，3 的倍数的个数。例如：

则

. 对任意正整数

，设

为

中的最小值。

（1）求证：存在无穷多个正整数

，使得

（2）求证：对任意正整数

，

分析

本题使用到一个结论

那么利用这一结论，第一问将任意正整数

拆分成形如

的数之和，并试图构造出使得 3 的倍数的个数最多的情形，不难分析出

是符合条件的，证明之即可。第二问，常规使用数学归纳法，利用好递推关系，并找到序数大的项与序数小的项之间的关联，本题迎刃而解。下面给出本题的详细解答。

解答

（1）我们证明

均满足要求。

我们令

，那么我们将

写作

注意到

那么

注意到

展开式的系数中非 3 的倍数的个数不超过上式的展开式的项数，而上式的展开式的项数

，于是

所以

（2）由（1），只需证存在

使

在

的意义下至少有

项系数非 0，我们记

，设满足

的

构成集合

对

归纳证明：

，从而

直接验证即可，假设

时，结论已成立，

当

时，假设

，记

，

注意到

故

从而

;

当

时，对

，记

，

注意到

而

，

，故

从而

;

当

时，假设

，记

，

注意到

故

从而

;

那么

再由

可知

故

，归纳即证.

点评

此题是本次竞赛的压轴题，难度较大，计算量较多，第一问需要一些猜测和运气，第二问需要很多的耐心去尝试和观察。