严格证明1 2 3 ……=-1/12

如果我问你1 2 3 ……等于多少？你会毫不犹豫地告诉我等于正无穷。但是，数学界第一天神欧拉却说，1 2 3 ……=-1/12。没错，就是那个发现了宇宙终极公式“欧拉公式”的天神欧拉。既然欧拉说等于-1/12，那就一定是正确的，因为天神从不会犯错。

欧拉

欧拉公式

遗憾的是，欧拉并没有给我们留下证明过程。接下来数学天才拉马努金登场了，拉马努金告诉我们，欧拉确实是正确的。

拉马努金

接下来就是见证奇迹的时刻！

求证：1 2 3 ……=-1/12

证明：

S1=1 2 3 4 5 6 ……

S2=1-2 3-4 5-6 ……

S1-S2=0 4 0 8 0 12=4 8 12 ……

=4×(1 2 3 ……)=4S1

3S1=-S2

S1=-1/3×S2

S2=1-2 3-4 5-6 ……

S2= 1-2 3-4 5-6 ……

2S2=1 (-2 1) (3-2) (-4 3) (5-4) (-6 5) ……

=1-1 1-1 1-1 ……

2S2=1-1 1-1 1-1 ……

2S2= 1-1 1-1 1-1 ……

4S2=1 0 0 0 0 0 ……=1

S2=1/4

S1=-1/3×S2=(-1/3)×(1/4)=-1/12

S1=-1/12

1 2 3 4 5 6 ……=-1/12

证毕！

对于拉马努金的证明，看上去很有技巧性，但你总感觉有些地方没对,不是很严密。那接下来另一位大神黎曼的登场一定会让你心服口服。没错，就是那个给出了让世人疯狂的黎曼猜想的黎曼。

黎曼

黎曼给出了著名的黎曼ζ函数

黎曼函数

ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……

2^(-s)×ζ(s)=2^(-s)×1^(-s) 2^(-s)×2^(-s) 2^(-s)×3^(-s) ……

=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……

2^(-s)×ζ(s)=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……

ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……

φ(s)=1^(-s)-2^(-s) 3^(-s)-4^(-s) 5^(-s)-6^(-s) ……

ζ(s)-φ(s)=2×2^(-s) 2×4^(-s) 2×6^(-s) ……=2×2^(-s)×ζ(s)=2^(1-s)×ζ(s)

ζ(s)-φ(s)=2^(1-s)×ζ(s)

φ(s)=ζ(s)-2^(1-s)×ζ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)

φ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)

令s=-1

φ(-1)=[1-2^(1 1)]×ζ(-1)=(1-4)×ζ(-1)=-3ζ(-1)

φ(-1)=-3ζ(-1)

前面已经证明

φ(-1)=1-2 3-4 5-6 ……=1/4

ζ(-1)=1 2 3 4 5 6 ……=(-1/3)×φ(-1)=(-1/3)×(1/4)=-1/12

1 2 3 4 5 6 ……=-1/12

证毕！

自然数