如果我问你1 2 3 ……等于多少?你会毫不犹豫地告诉我等于正无穷。但是,数学界第一天神欧拉却说,1 2 3 ……=-1/12。没错,就是那个发现了宇宙终极公式“欧拉公式”的天神欧拉。既然欧拉说等于-1/12,那就一定是正确的,因为天神从不会犯错。
欧拉
欧拉公式
遗憾的是,欧拉并没有给我们留下证明过程。接下来数学天才拉马努金登场了,拉马努金告诉我们,欧拉确实是正确的。
拉马努金
接下来就是见证奇迹的时刻!
求证:1 2 3 ……=-1/12
证明:
S1=1 2 3 4 5 6 ……
S2=1-2 3-4 5-6 ……
S1-S2=0 4 0 8 0 12=4 8 12 ……
=4×(1 2 3 ……)=4S1
3S1=-S2
S1=-1/3×S2
S2=1-2 3-4 5-6 ……
S2= 1-2 3-4 5-6 ……
2S2=1 (-2 1) (3-2) (-4 3) (5-4) (-6 5) ……
=1-1 1-1 1-1 ……
2S2=1-1 1-1 1-1 ……
2S2= 1-1 1-1 1-1 ……
4S2=1 0 0 0 0 0 ……=1
S2=1/4
S1=-1/3×S2=(-1/3)×(1/4)=-1/12
S1=-1/12
1 2 3 4 5 6 ……=-1/12
证毕!
对于拉马努金的证明,看上去很有技巧性,但你总感觉有些地方没对,不是很严密。那接下来另一位大神黎曼的登场一定会让你心服口服。没错,就是那个给出了让世人疯狂的黎曼猜想的黎曼。
黎曼
黎曼给出了著名的黎曼ζ函数
黎曼函数
ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……
2^(-s)×ζ(s)=2^(-s)×1^(-s) 2^(-s)×2^(-s) 2^(-s)×3^(-s) ……
=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……
2^(-s)×ζ(s)=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……
ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……
φ(s)=1^(-s)-2^(-s) 3^(-s)-4^(-s) 5^(-s)-6^(-s) ……
ζ(s)-φ(s)=2×2^(-s) 2×4^(-s) 2×6^(-s) ……=2×2^(-s)×ζ(s)=2^(1-s)×ζ(s)
ζ(s)-φ(s)=2^(1-s)×ζ(s)
φ(s)=ζ(s)-2^(1-s)×ζ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)
φ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)
令s=-1
φ(-1)=[1-2^(1 1)]×ζ(-1)=(1-4)×ζ(-1)=-3ζ(-1)
φ(-1)=-3ζ(-1)
前面已经证明
φ(-1)=1-2 3-4 5-6 ……=1/4
ζ(-1)=1 2 3 4 5 6 ……=(-1/3)×φ(-1)=(-1/3)×(1/4)=-1/12
1 2 3 4 5 6 ……=-1/12
证毕!
自然数
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