在这个信息化的时代，出差旅行而找不到住的地方的情况基本上是不存在的，因为如果你要去的地方已经订不到酒店或旅馆，那么你会直接取消这次行程。但如果你是一名背包客，当你来到一个风景优美的小镇，深深的被这里的风土人情所感染，想要在这里住下来，却发现这个小镇上的旅馆已经全都客满了，那一定万分沮丧，更为要命的是，你今天晚上很可能就要露宿街头了。不过，如果这个时候你突然发现一家这样的旅馆，虽然它已经客满了，但是仍然却可以继续接收客人，而且接收多少都可以，那么你一定是又惊喜又疑惑吧。
是的，的确是有这样一家旅馆，这家旅馆的名字就叫做“希尔伯特无限旅馆”。先来介绍一下希尔伯特，然后再来说说这个旅馆，免得大家以为这个旅馆是我编出来的，给我一顿炮轰。希尔伯特是德国著名的数学家，如果用当下流行的词汇来说，希尔伯特绝对可以算得上是一个“现象级”的数学家。好了，现在让我们回过头来看看这个旅馆吧。就如同名字写的那样，希尔伯特无限旅馆是一家可以无限接收客人的旅馆，即使旅馆已经客满，仍然不影响继续接收新客人。如果你是那个找不到旅馆的背包客，你一定会很好奇这是怎么一回事。
希尔伯特无限旅馆的原理是这样的，在旅馆客满的情况下来了一位新客人，于是，旅馆老板就会让这位客人住在一号房，然后让原来住在一号房间里的客人移动到二号房，二号房移动到三号房，三号房移动到四号房，以此类推，这样所有的客人便都有了住的房间。那么为什么不让新来的客人住在最后一个房间，而非要这么倒腾呢？因为无限旅馆的房间数量是无限的，所以没人能够说清最后一个房间的房间号码。以这样的方式来接收新的客人的确可以让所有的人都有房间住，但是等一等，有一个问题。
我们说了，这是一家无限旅馆，而且永远可以接收新的客人，那么也就是说可以接收无限多的客人了。那么假设现在真的来了无限多的客人，该怎么办呢？房间中的客人岂不是要永远的移动下去，无法真正住下来？不用担心，有办法。我们只需要让一号房间的客人移动到二号房间，让二号房间的人移动到四号房间，让三号房间的人移动到六号房间，简单来讲，就是让所有房间的客人移动到他自己的房间号码乘以2的房间之中，这样你会发现，旅馆瞬间空出了无限多的奇数房间，正好可以供无限多的旅客居住。
现在看来，无限旅馆似乎已经没有任何毛病了。现在唯一的问题是，这样的旅馆真的存在吗？如果客观条件满足，这样的旅馆的确可以真实存在，只要我们拥有一个无限的空间。遗憾的是，地球的面积是有限的，就连宇宙都是有限的，虽然它可能在不断膨胀，所以有限的空间是无法容纳下一个无限旅馆的，不过这没有关系，记得吗，这是希尔伯特无限旅馆，也就是说这并不是悖论，这是一个数学问题，单纯的数学问题，这个问题很好的解释了有关无限集合的问题，在一个无限的集合之中，无论增减集合内部的元素都不会改变无限集合的性质。
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