在这个信息化的时代,出差旅行而找不到住的地方的情况基本上是不存在的,因为如果你要去的地方已经订不到酒店或旅馆,那么你会直接取消这次行程。但如果你是一名背包客,当你来到一个风景优美的小镇,深深的被这里的风土人情所感染,想要在这里住下来,却发现这个小镇上的旅馆已经全都客满了,那一定万分沮丧,更为要命的是,你今天晚上很可能就要露宿街头了。不过,如果这个时候你突然发现一家这样的旅馆,虽然它已经客满了,但是仍然却可以继续接收客人,而且接收多少都可以,那么你一定是又惊喜又疑惑吧。
是的,的确是有这样一家旅馆,这家旅馆的名字就叫做“希尔伯特无限旅馆”。先来介绍一下希尔伯特,然后再来说说这个旅馆,免得大家以为这个旅馆是我编出来的,给我一顿炮轰。希尔伯特是德国著名的数学家,如果用当下流行的词汇来说,希尔伯特绝对可以算得上是一个“现象级”的数学家。好了,现在让我们回过头来看看这个旅馆吧。就如同名字写的那样,希尔伯特无限旅馆是一家可以无限接收客人的旅馆,即使旅馆已经客满,仍然不影响继续接收新客人。如果你是那个找不到旅馆的背包客,你一定会很好奇这是怎么一回事。
希尔伯特无限旅馆的原理是这样的,在旅馆客满的情况下来了一位新客人,于是,旅馆老板就会让这位客人住在一号房,然后让原来住在一号房间里的客人移动到二号房,二号房移动到三号房,三号房移动到四号房,以此类推,这样所有的客人便都有了住的房间。那么为什么不让新来的客人住在最后一个房间,而非要这么倒腾呢?因为无限旅馆的房间数量是无限的,所以没人能够说清最后一个房间的房间号码。以这样的方式来接收新的客人的确可以让所有的人都有房间住,但是等一等,有一个问题。
我们说了,这是一家无限旅馆,而且永远可以接收新的客人,那么也就是说可以接收无限多的客人了。那么假设现在真的来了无限多的客人,该怎么办呢?房间中的客人岂不是要永远的移动下去,无法真正住下来?不用担心,有办法。我们只需要让一号房间的客人移动到二号房间,让二号房间的人移动到四号房间,让三号房间的人移动到六号房间,简单来讲,就是让所有房间的客人移动到他自己的房间号码乘以2的房间之中,这样你会发现,旅馆瞬间空出了无限多的奇数房间,正好可以供无限多的旅客居住。
现在看来,无限旅馆似乎已经没有任何毛病了。现在唯一的问题是,这样的旅馆真的存在吗?如果客观条件满足,这样的旅馆的确可以真实存在,只要我们拥有一个无限的空间。遗憾的是,地球的面积是有限的,就连宇宙都是有限的,虽然它可能在不断膨胀,所以有限的空间是无法容纳下一个无限旅馆的,不过这没有关系,记得吗,这是希尔伯特无限旅馆,也就是说这并不是悖论,这是一个数学问题,单纯的数学问题,这个问题很好的解释了有关无限集合的问题,在一个无限的集合之中,无论增减集合内部的元素都不会改变无限集合的性质。
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