高中数学 - 函数的奇偶性

内容：函数的奇偶性的概念；函数奇偶性的题型及解决方法

目标：1、理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

重点：1、理解奇偶函数的定义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

难点：1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

考情分析：单纯对函数的奇偶性这个知识点的考查，一般以选择题和填空题的方式，判断所给函数的奇偶性或者给定它的奇偶性，来求函数中的参数，考察难度一般为中下等；高考或者一些大型考试中对于函数奇偶性的考查还会结合函数的单调性，周期性考查，考查难度中等偏高。

内容：1、知识点讲解

（1）       函数奇偶性概念的引入

（2）       函数奇偶性概念

（3）       奇偶函数的图像特征

（4）       函数按奇偶性的分类

（5）       奇偶函数的判定与证明

          2、经典例题

          （1）给出函数解析式判断其奇偶性

          （2）抽象函数判断其奇偶性

          （3）函数奇偶性的应用

1) . 求字母的值

2) . 解不等式

3) . 求函数解析式

4）.根据函数奇偶性求函数值

                            5）.奇偶函数的单调性

                            6）.奇偶函数的对称性

         3、小结

4、练习（及参考答案）

一、        知识点讲解

函数奇偶性概念的引入：

1.      观察①-③图有什么特征，及④-⑦图有什么特征特征？

结论：①-③图为轴对称图形，④-⑦图为中心对称图形。

2.      观察下列函数图像的特征，及自变量取相反数时，函数值的变化？

（1）

       （2）

    （3）

（4）

        （5）

     （6）

   

结论：（1）-（3）关于y轴对称，自变量取相反数时函数值不变；（4）-（6）关于原点对称，自变量取相反数时函数值也取相反数。

函数奇偶性的概念

一般地，对于函数

，如果对于函数定义域内任意一个

，都有

，那么函数

就叫做偶函数。

一般地，对于函数

，如果对于函数定义域内任意一个

，都有

,那么函数

就叫做奇函数。

奇偶函数的图像特征

奇函数

图象关于原点成中心对称的函数；

偶函数

图象关于y轴对称的函数。

例1：判断下列函数是否为偶函数？（口答）

1）

2）

3）

练习1：奇函数定义域是[a,2a+3]，则a=_____.

答案：例1：是否是 练习1：-1

函数按奇偶性的分类

1）奇函数，如：

2）偶函数，如：

3）非奇非偶函数，如：

4）既是奇函数也是偶函数，如：

奇偶函数的判定与证明

（1）用定义法判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较

与

的关系。

③、对于奇函数，x=0处的函数值要么等于零，要么无意义。

例1：求证：

是偶函数。

例2：已知f(x)=ax²+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=______，b=________.

例3：求证：函数

是奇函数。

例4：判断下列函数的奇偶性

；

（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。

例5：函数

的奇偶性是___________.

例6：判断函数的奇偶性

注意：（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。

     （2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。

（3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。

（3）运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

偶函数

偶函数=偶函数；奇函数

奇函数=奇函数；

偶函数

偶函数=偶函数；奇函数

奇函数=偶函数；

偶函数

奇函数=奇函数

若

为偶函数，则

。

例7：设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）

A.      

是偶函数

B.       

是奇函数

C.       

是偶函数

D.      

是奇函数

例8：设函数f(x),g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是（）

A.      f(x)g(x)是偶函数

B.       

是奇函数

C.       

是奇函数

D.      

是奇函数

二、        经典题型

1、给出函数解析式判断其奇偶性：★

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.

例1：判断下列函数的奇偶性：

(1).

    (2) .

解：

函数的定义域是

，

∵

，∴

，

∴

为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数

的图象如下：

由函数

的图象可知，

为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2). 解：由

，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).

∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

例2：判断下列函数的奇偶性：

(1).

           (2).

。

解： (1).由

，解得

∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则

.

∴

.

∴

为奇函数.

说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

 (2).由

，解得

，∴ 函数定义域为

，

又∵

，∴

，

∴

且

，

所以

 既是奇函数又是偶函数。

例3：判断下列函数的奇偶性：

(1).

；(2).

解：(1) .定义域为R，∵

，∴f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找

与

关系，但当直接找

与

关系困难时，可用定义的变形式：

函数f（x）是偶函数；

 

函数f（x）是奇函数。

 (2) .函数的定义域为R，

当

时，

当

时，

当

时，

综上可知，对于任意的实数x，都有

，所以函数

为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

练习题

1.判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|； 

（2）f（x）=（x－1）·

； 

（3）f（x）=

； 

（4）f（x）=

2、抽象函数判断其奇偶性：★★

例4：已知函数

对任意的非零实数

恒有

判断函数

的奇偶性。

解：函数的定义域为

，

令

，得

，令

，则

取

，得

故函数

为偶函数。

说明：判断抽象函数奇偶性目的是要得到

与

的关系，在这里可以考虑换元及特值的思想求解。

练习题

1. 已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.

3、函数奇偶性的应用：★

(1) . 求字母的值：

例5：已知函数

是奇函数，又

，

，求

的值.

解：由

得

，∴

。

又

得

，而

得

，

∴

，解得

。

又

，∴

或

.

若

，则

，应舍去；若

，则

b=1∈Z.

∴

。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。

练习题

1．若

为偶函数，则实数a=_____。

2．已知

是奇函数，则实数

为________.

3．已知函数

是奇函数，又

，

，求

的值.

4． 已知f(x)=ax²+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=______，b=________.

 (2) . 解不等式：★★

例6：若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.

解：画图可知f(x)＜0的解集为    ｛x｜－1＜x＜1｝，

∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.

答案：｛x｜0＜x＜2｝

说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x－1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.

练习题

1．设偶函数f(x)满足：当x≥0时，

，则

_____。

2．若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

(3) .求函数解析式：★

例7：已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).

分析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.

解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.

当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，

∴f(x)=－xlg(2+x) (x＞0).

∴

。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

练习题

1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x²－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）

　A．y＝x（x－2）                　B．y ＝x（｜x｜－1）

C．y ＝｜x｜（x－2）           　D．y＝x（｜x｜－2）

2．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2；则奇函数f(x)的值域是_____.

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

，则f(1)=_____。

4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若

，则f（x）的解析式为_______．

（4）根据函数奇偶性求函数值★★

例8：已知f(x)=ax⁷－bx+2且f(－5)=17，则f(5)=_______________.

练习题

1. 已知函数

为奇函数，且当

A.  -2    B. 0     C. -1      D. 1

2. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=

，则f(-1)=_____。

3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

，则f(1)+g(1)=_____。

4．已知

，其中

为常数，若

，

则

_______   

（5）奇偶函数的单调性★★★

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）。

例：已知偶函数

在

上是减函数，求不等式

的解集

练习题

1．已知函数

，且

是偶函数，求

2．定义域在

上的偶函数

，当

时为减函数，求不等式

的解集

3．设奇函数

在定义域

上单调递减，解不等式

（5）奇偶函数的对称性★★★

(1)若

是偶函数，则

的图象关于直线

对称；而函数

关于直线

对称的函数的解析式是

  

(2)函数

关于点

中心对称的充要条件是

或

；而函数

关于点

中心对称的函数的解析式是

（3）函数

关于点

中心对称的充要条件是

或

；而函数

关于点

中心对称的函数的解析式是

例题：证明：（1）若函数

是偶函数，则

（2）      若函数

是偶函数，则

.

练习题

1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．

①f(x)是偶函数　②f(x)是奇函数　③f(x)＝f(x＋2)   ④f(x＋3)是奇函数

2．定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x₁<a，x₂>a，且|x₁－a|<|x₂－a|时，则f(2a－x₁)与f(x₂)的大小关系为________．

课堂小结

1. 函数奇偶性的概念

一般地，对于函数

，如果对于函数定义域内任意一个

，都有

，那么函数

就叫做偶函数。

一般地，对于函数

，如果对于函数定义域内任意一个

，都有

,那么函数

就叫做奇函数。

2. 奇偶函数的图像特征

奇函数

图象关于原点成中心对称的函数；

偶函数

图象关于y轴对称的函数。

3. 函数按奇偶性的分类

1）奇函数， 2）偶函数， 3）非奇非偶函数， 4）既是奇函数也是偶函数。

4．奇偶函数的判定与证明

（1）用定义法判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较

与

的关系。

③、对于奇函数，x=0处的函数值要么等于零，要么无意义。

（判断函数的奇偶性，

1）先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.

2）解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

3）对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

4）给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找

与

关系，但当直接找

与

关系困难时，可用定义的变形式：

函数f（x）是偶函数；

函数f（x）是奇函数。

5）分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

6）判断抽象函数奇偶性目的是要得到

与

的关系，在这里可以考虑换元及特值的思想求解。）

（2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。

（3）运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

偶函数

偶函数=偶函数；奇函数

奇函数=奇函数；

偶函数

偶函数=偶函数；奇函数

奇函数=偶函数；

偶函数

奇函数=奇函数

若

为偶函数，则

。

注意：（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。

     （2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。

（3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。

课后练习

一、选择题

1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］时f(x)等于

A.－x(1－x)            B.x(1+x)      C.－x(1+x)              D.x(x－1)

2.已知四个函数：①

，      ②

，③ y=3^x+3^-x，④ y=lg(3^x+3^-x).其中为奇函数的是

A.②④                   B.①③       C.①④                   D.①②

3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²－2x，则在R上f(x)的表达式为

A.－x(x－2)    B. x（｜x｜－2）  C.｜x｜(x－2)    D.｜x｜（｜x｜－2）

二、填空题

4.已知f(x)=ax²+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.

5.若

 (x∈R且x≠0)为奇函数，则a=_______________.

6.已知

是定义在

上的奇函数，当

时，

的图像如右图所示，那么不等式

的解集是_____________

 

三、解答题

7.已知

且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。

9.设函数

是偶函数，函数

是奇函数，且

，求

和

的解析表达式。

10.已知f(x)＝x⁵+ax³-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。

11.已知

都是定义在R上的奇函数，若

在区间

上的最大值为5，求

在区间

上的最小值。

12.已知

是奇函数，在区间

上单调递增，且有

，求实数

的取值范围。

参考答案：

一、选择题

1. 解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴ f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x). 

∴f(x)=x(1+x).答案：B

2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D

3. 解析：设x＜0，则－x＞0，

∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)²－2(－x)］=－x²－2x.

∴

，即f(x)=x（|x|－2），故答案：B 。

二、填空题

4. 解析：定义域关于原点对称，故a－1=－2a，

，

又对于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0. 答案：

 ， 0 。

5. 解析：特值法：∵f(－1)=－f(1) ，

，

。

答案：

。

6. 解析：∵

是定义在

上的奇函数，∴ 补充其图像如图，又∵不等式

同解于

或

，解得

，或

或

，∴不等式

的解集是

，答案：

。

三、解答题

7. 解：由x=lnf(x)得f(x)=e^x.

∴

。

又

，∴G(x)为奇函数。

8. 解：∵

，∴

，

又∵函数

是偶函数，函数

是奇函数，∴

，

，

∴上式化为

，解

组成的方程组得

，

。

9. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解

解：令g(x)=x⁵+ax³-bx，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)，

于是f(-2)＝g(-2)-8,　 ∴g(-2)=18.　　所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.

10. 解：设

，则

为奇函数，

因为当

时，

所以

所以当

时，

即

故

在区间

上的最小值为-1 。

11. 解：因为函数

是奇函数，所以

由

得

，即

又

在区间

上单调递增，故得

 ，解得

所以实数

的取值范围为

注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出

是解决本题的关键。