常用数学化简技巧与常用公式[运算能力辅导]

前言#

从网上得到启示，才着手整理总结了自己近几年高三一线教学体会，本博文主要涉及有关运算的方面的化简技巧和常用公式，整理的初衷就是看，能不能帮助提升学生的运算能力。实际更多的想法是抛砖引玉，让高三学生自己仿照着自己整理总结，坚持一段时间，你会发现你做的更好。

另外提醒学生还要注意体会数学化简中的化简方向和化简方法；2019高考数学Ⅱ卷的第4题，让许多学生不知所云，就是例证。

引例【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题】原题目略，将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式： $\frac{M_{1}}{(R + r)^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ ，且已知 $α = \frac{r}{R}$ ， $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{(1 + α)^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，试用 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $R$ 表示 $r$ 的近似值；

具体的分析求解过程：请参阅，2019高考数学理科Ⅱ卷解析版

易错总结#

整式、分式互化时易错，分式化为整式，容易扩大字母取值范围；整式化为分式，容易缩小字母取值范围；

引例1将 $\frac{y}{x + 2} \cdot \frac{y}{x + 2} = - \frac{1}{2}$ ，化简整理为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，分母消失，故字母取值扩大，故需要添加条件限制，则本题应该化简为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (| x | \neq 2)$ ，或者 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (y \neq 0)$ 。

引例2由 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，说明数列 ${a_{n}}$ 为公比为 $2$ 的等比数列，就是错误的，原因是当 $a_{n} = 0$ 时，数列为所有项都为 $0$ 的常数列，不能构成等比数列，故还需要验证数列的首项 $a_{1}$ 是否为 $0$ ，若不为 $0$ ，则构成等比数列，若为 $0$ ，则不能构成等比数列，这是学生极容易犯错之处。

对数变形时容易出错

引例3将 $y = l n x^{2}$ 变形为 $y = 2 l n x$ ，就是错误的，前者字母 $x \neq 0$ ，后者 $x > 0$ ，故正确的化简变形应该时 $y = 2 l n | x |$ .

已知函数的极值点求参数的取值时容易犯错

引例4函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值 $10$ ，求 $a ， b$ 的值。

主要出错原因，“ $x_{0}$ 为极值点”是可导函数 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 的充分不必要条件。1

应用不等式性质变形时易错；高频易错题目整理
利用函数的单调性求参数的范围时易错
利用直线的平行或垂直的充要条件时易错
设直线方程为 $y = k x + b$ 时，不判断是否包含斜率不存在的情形出错
等比数列的求和 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ 不判断 $q$ 是否为 $1$ 出错

代数部分#

1、四则运算的互化

加法变减法， $\frac{y + 2}{x + 1} = \frac{y - (- 2)}{x - (- 1)}$ ；比如用在斜率公式中。

乘法变除法， $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 变形为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $3 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ 变形为 $\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$ ，比如用在求长轴和短轴的长。

一般计算方法 $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}$ ；更快的算法 $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ ；

$i^{2} = - 1$ ，则 $- 1 = i^{2}$ ，故 $- 1 + 2 i = i (i + 2)$ ；一般计算方法 $\frac{- 1 + 2 i}{2 + i} = \frac{(- 1 + 2 i) (2 - i)}{(2 + i) (2 - i)} = \frac{- 2 + i + 4 i - 2 i^{2}}{5} = \frac{5 i}{5} = i$ ，更快的算法 $\frac{- 1 + 2 i}{2 + i} = \frac{i (2 + i)}{2 + i} = i$

2、繁分式化简分式：

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{3}{a c} - \frac{1}{b} + \frac{4}{b c}} = \frac{(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c}) \times a b c}{(\frac{3}{a c} - \frac{1}{b} + \frac{4}{b c}) \times a b c} = \frac{b c + 2 a c + a b}{3 b - a c + 4 a}$ ；同乘

3、分式中负指数幂化为正指数幂：

$\frac{a^{x} + a^{- x}}{a^{x} - a^{- x}} = \frac{(a^{x} + a^{- x}) \times a^{x}}{(a^{x} - a^{- x}) \times a^{x}} = \frac{a^{2 x} + 1}{a^{2 x} - 1}$ ；同乘

参见分式型函数常用变形

4、指数运算、对数运算、根式运算

参见指数对数的运算

5、齐次式变形，为函数求值域，三角函数化简、变形、求值做准备：

① $z = \frac{a + \sqrt{2} b}{\sqrt{2} a + b}$ ；分子分母同除以 $b$ 变形得到， $z = \frac{\frac{a}{b} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} \frac{a}{b} + 1} \overset{t = \frac{a}{b}}{=} \frac{t + \sqrt{2}}{\sqrt{2} t + 1}$

② $z = \frac{2 a^{2} + 4 a b - 3 b^{2}}{a^{2} + a b + b^{2}}$ ；分子分母同除以 $b^{2}$ 变形得到， $z = \frac{2 (\frac{a}{b})^{2} + 4 \frac{a}{b} - 3}{(\frac{a}{b})^{2} + \frac{a}{b} + 1} \overset{t = \frac{a}{b}}{=} \frac{2 t^{2} + 4 t - 3}{t^{2} + t + 1}$

③ $\frac{a \sin θ + b \cos θ}{c \sin θ + d \cos θ} =_{分子分母是 s i n θ, c o s θ 的一次齐次式}^{分子分母同除以 c o s θ} \frac{a \tan θ + b}{c \tan θ + d}$ ( $a, b, c, d$ 为常数)；

④ $\frac{\sin 2 θ - \cos^{2} θ}{1 + \sin^{2} θ} = \frac{2 s i n θ c o s θ - c o s^{2} θ}{2 s i n^{2} θ + c o s^{2} θ} =_{分子分母是 s i n θ, c o s θ 的二次齐次式}^{分子分母同除以 c o s^{2} θ} \frac{2 t a n θ - 1}{2 t a n^{2} θ + 1}$

⑤ $a^{2} - 5 a b + 4 b^{2} > 0$ ，同除以 $b^{2}$ 得到， $(\frac{a}{b})^{2} - 5 \frac{a}{b} + 4 > 0$ ，得到 $\frac{a}{b} < 1$ 或 $\frac{a}{b} > 4$ ；

参见齐次式的相关

4、除法分配律(分数裂项)，分式变形时最常用。

$① \frac{b + c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a}$ ； $② \frac{a - b}{a b} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ；

但是她更多的时候表示为整式形式，如 $a_{n} - a_{n + 1} = k a_{n + 1} a_{n}$ ，

两边同除以 $a_{n + 1} a_{n}$ ，可以变形为 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = k$ ；

5、分子常数化(化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高)

$① y = \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{(2 x - 2) + 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}$ ；

$② y = \frac{2 x}{x + 4} = \frac{2}{1 + \frac{4}{x}}$ ；

$③ y = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1} = \frac{(a^{x} + 1) - 2}{a^{x} + 1} = 1 - \frac{2}{a^{x} + 1}$ ；

$④ y = \frac{2 x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} = \frac{2 (x - 1)^{2} + 1}{x - 1} = 2 (x - 1) + \frac{1}{x - 1}$ ；2

6、分母有理化，常常为数列中的裂项相消法准备：

① $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ ；

② $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{(\sqrt{x^{2} + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 1} + x)} = \sqrt{x^{2} + 1} + x$ ；3

③ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}{(\sqrt{x^{2} + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 1} + x)} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$ ；

7、分子有理化，常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备：

① $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ ；

② $\sqrt{n^{2} + 1} - n = \frac{\sqrt{n^{2} + 1} - n}{1} = \frac{(\sqrt{n^{2} + 1} - n) (\sqrt{n^{2} + 1} + n)}{1 \cdot (\sqrt{n^{2} + 1} + n)} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1} + n}$ ；4

8、配方，为二次函数对称轴，圆锥曲线方程等准备：①②③④⑤⑥

① $a^{2} \pm a b + b^{2} = (a \pm \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2}$ ；② $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ ；(常与韦达定理相关，与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)

③ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ ；④ $y = a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} (a \neq 0)$ (二次函数对称轴)

⑤ $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}] \geq 0$ (与均值不等式相关，常引申为 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + a c (当且仅当 a = b = c 时取到等号)$ )

9、因式分解、乘法公式，常与解方程，解不等式相关：

① $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ；② $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$ ；

③ $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ ；④ $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})$ ；

⑤ $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ；⑥ $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ ；5

10、整体代换，常与函数的变形、函数的性质的变换和推导有关，

①、 $f (x + 4) = f (x)$ 或者 $f (x + 2) = f (x - 2) ⟹ T = 4$ ；

②、 $f (x + a) = - f (x) \Leftrightarrow f (x + a) + f (x) = 0 ⟹ T = 2 a$ 6

$f (x + a) = b - f (x) \Leftrightarrow f (x + a) + f (x) = b ⟹ T = 2 a$ 7

③、 $f (x + a) = \frac{k}{f (x)} (k \neq 0) \Leftrightarrow f (x + a) f (x) = k ⟹ T = 2 a$ ;8

④、 $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x) ⟹ f (x + 3) = - f (x) ⟹ T = 6$

或者 $f (n + 2) = f (n + 1) - f (n) ⟹ f (n + 3) = - f (n) ⟹ T = 6$

⑤、抽象函数的对称性

⑥、函数性质的综合运用

11、常数代换

① $\frac{1 - t a n 15^{\circ}}{1 + t a n 15^{\circ}} = \frac{t a n 45^{\circ} - t a n 15^{\circ}}{1 + t a n 45^{\circ} \cdot t a n 15^{\circ}} = \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

② $a + b = 2$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

③

12、能合二为一或一分为二
13、需要化简的
10、一元二次方程相关，设 $a x^{2} + b x + c = 0 （ a \neq 0 ）$ 的两个根为 $x_{1} ， x_{2}$ ， $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，

①求根公式： $x_{1 ， 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} （ Δ > 0 ）$ ； $| x_{1} - x_{2} | = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2}} = \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \frac{\sqrt{Δ}}{| a |}$ ；

②韦达定理： ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$ ，如果解关于 $x_{1} ， x_{2}$ 的二元方程，就可以通过构造方程 $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ 再解。

③因式分解： $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ；

④【补充】 $a x + b = 0$ 对所有 $x \in R$ 都成立，则等价于 $a = b = 0$ ； $a m + b n = 0$ 对所有 $m ， n \in R$ 都成立，则等价于 $a = b = 0$ ；

$a x^{2} + b x + c = 0$ 对所有 $x \in R$ 都成立，则等价于 $a = b = c = 0$ ； $a m^{2} + b m n + c n^{2} = 0$ 对所有 $m ， n \in R$ 都成立，则等价于 $a = b = c = 0$ ；

11、三角形的基础知识相关

①三边关系： $a + b > c$ 且 $b + c > a$ 且 $c + a > b$ ，由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边；故只需要记忆一组公式即可。

② $n$ 边形内角和 $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ ； $n$ 边形外角和： $360^{\circ}$ ；

③ $a > b \Leftrightarrow A > B$ ；延伸到高中得到 $a > b \Leftrightarrow A > B \Leftrightarrow s i n A > s i n B \Leftrightarrow c o s A < c o s B$ ；

12、引入比例因子简化运算

借助比例因子简化运算

13、
14、特殊方程组

已知 ${\begin{cases} x y = 12 \\ y z = 8 \\ x z = 6 \end{cases}$ ，求解方程组；

分析：三式相乘再开方，得到 $x y z = 24$ ，然后与已知的三个式子相除，

得到 $x = 3$ ， $y = 4$ ， $z = 2$ 。

15、和分比性质

由 $\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{2 - x}{2 \sqrt{3}}$ 解方程，则可得到 $\frac{2 - x}{x} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ ，

利用和比性质得到， $\frac{2 - x + x}{x} = \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ ，

即 $\frac{2}{x} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ ，则 $x = \frac{2}{3}$ ；

几何部分#

分析： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ ，由 ${\begin{cases} f^{'} (1) = 0 \\ f (1) = 10 \end{cases}$ ，
得到 ${\begin{cases} 3 + 2 a + b = 0 \\ a^{2} + a + b + 1 = 10 \end{cases}$ ，
解得 ${\begin{cases} a = 4 \\ b = - 11 \end{cases}$ ，或 ${\begin{cases} a = - 3 \\ b = 3 \end{cases}$ ，
注意到此需要检验，当 $a = - 3 ， b = 3$ 时， $f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2}$ ，
此时 $x = 1$ 是导函数 $f^{'} (x)$ 的不变号零点，
故在 $x = 1$ 处不能取到极值。
当 $a = 4 ， b = - 11$ 时， $f^{'} (x) = (3 x + 11) (x - 1)$ ，
此时 $x = 1$ 是导函数 $f^{'} (x)$ 的变号零点，故在 $x = 1$ 处能取到极值。
综上所述， $a = 4 ， b = - 11$ 。↩
引例2、已知函数 $f (x) = m l n x + x^{2} - m x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，求m的取值范围____________．
【分析】由函数单调递增，转化为 $f^{'} (x) \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，然后分离参数得到 $m \leq g (x)$ ，用均值不等式求新函数 $g (x)$ 的最小值即可。
【解答】由题目可知， $f^{'} (x) \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，且 $f^{'} (x)$ 不恒为零，
则有 $f^{'} (x) = \frac{m}{x} + 2 x - m = \frac{2 x^{2} - m x + m}{x} \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，
即 $2 x^{2} - m x + m \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，常规法分离参数得到
m≤ $\frac{2 x^{2}}{x - 1} = \frac{2 (x - 1)^{2} + 4 x - 2}{x - 1} = \frac{2 (x - 1)^{2} + 4 (x - 1) + 2}{x - 1} = 2 (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + 4$
由于 $x > 1$ ，故 $2 (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + 4 \geq 2 \sqrt{4} + 4 = 8$ ，当且仅当 $x = 2$ 时取到等号。
故 $m \leq 8$ ，当 $m = 8$ 时，函数不是常函数，也满足题意，故 $m \leq 8$ 。↩
【具体应用①】比如函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，则可知 $f (- x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，即 $f (x) + f (- x) = l n 1 = 0$ ，即函数 $f (x)$ 为奇函数；
那么函数 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ 呢，同理可得， $f (x) + f (- x) = 2$ ，即函数 $f (x)$ 关于点 $(0 ， 1)$ 对称。
【具体应用②】比如函数 $g (x) = l g (\sqrt{s i n^{2} x + 1} + s i n x)$ ，则可知 $g (- x) = l g (\sqrt{s i n^{2} x + 1} - s i n x)$ ，
即 $g (x) + g (- x) = l g 1 = 0$ ，即函数 $g (x)$ 为奇函数；
↩
引例， $b = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ，比较 $b 、 c$ 的大小。
分析： $b = \sqrt{7} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{1} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ ；
$c = \sqrt{6} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ ；
由于 $\sqrt{7} + \sqrt{3} > \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，故 $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} < \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ ，
即 $b < c$ 。↩
实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的：
① $x^{2} - 5 \sqrt{2} x + 8 \geq 0$ ，即 $(x - \sqrt{2}) (x - 4 \sqrt{2}) \geq 0$ ；
② $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m - 2 \leq 0$ ，即 $[x - (m + 2)] [x - (m - 1)] \leq 0$ ；
③ $x^{2} - 3 m x + (m - 1) (2 m + 1) \geq 0$ ；即 $[x - (m - 1)] [x - (2 m + 1)] \geq 0$ ；
④ $x^{2} - (a + a^{2}) x + a^{3} \leq 0$ ，即 $(x - a) (x - a^{2}) \leq 0$ ；
⑤ $x^{2} - (a + 1) x + a \leq 0$ ，即 $(x - 1) (x - a) \leq 0$ ；
⑥ $x^{2} - (2 a + 1) x + a (a + 1) \leq 0$ ；即 $(x - 1) [x - (a + 1)] \leq 0$ ；
⑦ $\frac{x - 2 a}{x - (a^{2} + 1)} < 0 (a \neq 1)$ ；即 $(x - 2 a) [x - (a^{2} + 1)] < 0$ ，解集为 $(2 a ， a^{2} + 1)$ ；
⑧ $x^{2} + (m + 4) x + m + 3 < 0$ ，即 $(x + 1) [x + (m + 3)] < 0$ ；
⑨ $x^{2} - (a + \frac{1}{a}) x + 1 < 0$ ，即 $(x - a) (x - \frac{1}{a}) < 0$ ；
⑩ $f^{'} (x) = x + (a - e) - \frac{a e}{x} = \frac{x^{2} + (a - e) x - a e}{x} = \frac{(x + a) (x - e)}{x}$ ；
⑾ $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = x^{2} - 2 a x + (a + 2) (a - 2) = [x - (a - 2)] [x - (a + 2)] \leq 0$ ，即 $a - 2 \leq x \leq a + 2$ ；↩
推导： $f (x + 2 a) = f [(x + a) + a] =_{整体代换}^{用 x + a 代换已知式中的 x} - f (x + a) =_{代换}^{用已知 f (x + a) = - f (x)} - (- f (x)) = f (x) ⟹ T = 2 a$ ↩
推导： $f (x + 2 a) = f [(x + a) + a] = b - f (x + a) = b - (b - f (x)) = f (x) ⟹ T = 2 a$ ↩
推导： $f (x + 2 a) = f [(x + a) + a] = \frac{k}{f (x + a)} = \frac{k}{\frac{k}{f (x)}} = f (x) ⟹ T = 2 a$ ↩

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