面积计算（三十七）

其实像这种面积比例的题目，主要就是来回倒腾，反复地套，不要怕麻烦，看到平行线就上。严格意义上来说算繁，而不算难。

我们再来看一些例子。

如图：在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC、CD的中点，已知△AGH的面积为3，求五边形CEGHF的面积。

最简单粗暴的想法是什么？△AGH和平行四边形的面积比算出来，五边形和平行四边形的面积比算出来，然后按照比例关系求出五边形的面积，对不对？

既然这样想，那就这样干！

要知道五边形所占的面积比，只要把除去这块的部分所占平行四边形的面积比求出来就可以了，对不对？

剩下的这块不规则的图形，可以看成△ABD、△DHF、△GBE组成的。而△ABD很显然是平行四边形面积的一半，按下暂且不表，剩下两块呢？

我们注意到BE∥AD，且BE：AD=1:2，所以△BGE的面积是△ADG面积的1/4，现在的问题是，△AGD的面积又占整个平行四边形的多少呢？

因为△ABD的面积已知，所以如果能求出和它的面积比也是极好的嘛。我们看到，BE：AD=1:2还能推出BG：GD=1:2，即DG：DB=2:3，所以△ADG是△ABD面积的2/3，于是△GBE的面积是整个平行四边形的1/12。我们利用△DFH和△AHB的相似，然后分析过程照搬，就能得到△DFH的面积也是平行四边形的1/12，于是五边形的面积占平行四边形的面积的比为1-1/2-1/12-1/12=1/3。

那么三角形AGH占平行四边形面积的多少呢？从上面的分析我们可以知道，△AGB的面积是△ABD的1/3，即平行四边形的1/6，同理，△ADH的面积也是平行四边形的1/6，于是△AGH的面积所占比为1/2-1/6-1/6=1/6，所以平行四边形面积为18，则五边形的面积为18× 1/3=6。

再看这个例子。

例： 在面积为225的正方形ABCD中，E是AD中点，H是FG中点，DF=CG，求△AGH的面积。

注意到本题中的难点在哪里？没错，就是DF=CG。到目前为止我们所有处理过的问题都是有明确的比例的，像这种不知道占比的线段还是第一次碰到，这时候该如何处理？

毫无疑问，肯定是想通过一定的办法，把△AGH和正方形的面积比求出来。由于H是GF的中点，因此最容易想到的就是△AGH的面积是△AGF的一半，所以我们先把AF连起来。这样整个正方形就被划分成了四块：△ABG，△AGF，△ADF，△CGF。

DF=GC怎么用？看它们属于哪个三角形呗！DF属于△ADF，而CG除了属于△CGF之外，还属于△CGA，不难看出，△CGA和△ABG的面积和恰好等正方形面积的一半。

巧的是，△ADF和△AGC除了等底以外，还等高，于是我们现在的目标就只剩下△GFC的面积怎么表示了。

虽然题目没有给出CG和边长的关系，但是很容易看出其实GC和DF是固定的，否则你去G为中点和三等分点，马上能看出△GFC的面积是会变化的，而△ADF和△ABG的面积和是定值（正方形的一半），据此判定CG一定是固定的。

然而CG却找不到一个模型一或者模型二来安放它！于是我们知道要加辅助线了。作GC的平行线是一个思路，问题是：是过F作GC的平行线，还是把AD延长和GF相交呢？

试试。

我们过F作FK∥GC，因为H是中点，所以FK=GC=DF。注意到△CDE中还有一个模型二可以用，并且能把DF联系起来，我们写出比例关系就是：

FK：DE=FC：CD，即FK：AD/2=（AD-FK）：AD，解得FK=AD/3，所以FC=2AD/3，于是△FCG的面积等于正方形面积的1/9。

此时△AGH的面积也水落石出，等于（1-1/2 -1/9）/2 ×225=175/4。