三角形（九）

例：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。

按照我的标准来看，这可真是个好题。

好在哪里？

可以充分运用之前我所提到的一切技巧。

首先可以肯定的是这个题目不简单，因为结论都是开放的，题目并不是让你直接证明这二者相等或者大于还是小于，这个结论要你自己找，然后自己证。像这样的开放性的题目往往会让很多初学者束手无策，甚至连个大概的方向都没有，光是探索正确的结论恐怕就要花费一定的时间，关键是心情搞坏了。

那么像这样的开放性问题，结论该怎么找？

量。

别吐血，这确实是最直观的办法。各位亲，请直接拿直尺量出这三条线段的长度，然后比较一下，很容易发现BE+CF>EF。

接下来就可以证明了。。。吗？

难道不验算嘛？

有个笑话说：一个学生考试的时候做选择题扔骰子，结果每个题目还要扔两遍，老师看了很奇怪，就问他为什么，学生理直气壮地回答：难道我不要验算么？彻底蒙的都知道要验算一下，何况是我们这样有目的性的猜测呢？

那么怎么“验算”比较合理呢？我们可以用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别试试，看看结论是否都是对的。经过这般验算之后我们就比较放心了，谁说猜测的结果就不可以验算？可以不验算？

现在目标明确，我们就开始结合条件找工具。既然是大于，那么你第一反应应该用什么？

三角形两边之和大于第三边！你还有其他选择么？没有没有没有！于是接下来要干什么？

把这三条线段平移到一个三角形中去！

好，就算你后面想不出来，那么到这一步为止，我已经很满意了。

为什么？因为这说明了在我长期熏陶之下，你已经开始养成最熟悉的办法来做题的习惯了，同时初步具备了把灵活性和基本概念结合起来的能力！

接下来让我们进一步看看这题该怎么做。

令人吃惊的是，对于题设中的主要条件，我们竟然还一个都没用过呢！一个垂直，一个中点，又该怎么用起来呢？

这时候就可以启发学生：前面既然说了把目标线段平移到一起，然后构成三角形的三条边，那么我们看看有没有比较容易平移的线段？

很显然，过E作AB的平行线CG，然后使得CG=BE，我们就把BE和FC移到一起了，这时候很容易看出△BED应该和△CGD全等，但是这种平移方法显然太不自然了，我们只要把ED延长一倍，马上可以得到两个目标三角形全等。

而CF+CG能直接得到的结论就是大于FG，FG和EF是否相等是接下来要考虑的问题。很显然这是相等的，因为ED⊥DF，所以∠EDF=∠GDF=90°，于是△EDF全等于△GDF，所以EF=FG。

题目就这样做完了。

我们从探索结论开始，到确定结论，再到运用中线性质（可以看成是△BEC内的中线），全等三角形，是不是把所有讲到的点都过了一遍了？