例:如图,在△ABC中,D是BC中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。
按照我的标准来看,这可真是个好题。
好在哪里?
可以充分运用之前我所提到的一切技巧。
首先可以肯定的是这个题目不简单,因为结论都是开放的,题目并不是让你直接证明这二者相等或者大于还是小于,这个结论要你自己找,然后自己证。像这样的开放性的题目往往会让很多初学者束手无策,甚至连个大概的方向都没有,光是探索正确的结论恐怕就要花费一定的时间,关键是心情搞坏了。
那么像这样的开放性问题,结论该怎么找?
量。
别吐血,这确实是最直观的办法。各位亲,请直接拿直尺量出这三条线段的长度,然后比较一下,很容易发现BE+CF>EF。
接下来就可以证明了。。。吗?
难道不验算嘛?
有个笑话说:一个学生考试的时候做选择题扔骰子,结果每个题目还要扔两遍,老师看了很奇怪,就问他为什么,学生理直气壮地回答:难道我不要验算么?彻底蒙的都知道要验算一下,何况是我们这样有目的性的猜测呢?
那么怎么“验算”比较合理呢?我们可以用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别试试,看看结论是否都是对的。经过这般验算之后我们就比较放心了,谁说猜测的结果就不可以验算?可以不验算?
现在目标明确,我们就开始结合条件找工具。既然是大于,那么你第一反应应该用什么?
三角形两边之和大于第三边!你还有其他选择么?没有没有没有!于是接下来要干什么?
把这三条线段平移到一个三角形中去!
好,就算你后面想不出来,那么到这一步为止,我已经很满意了。
为什么?因为这说明了在我长期熏陶之下,你已经开始养成最熟悉的办法来做题的习惯了,同时初步具备了把灵活性和基本概念结合起来的能力!
接下来让我们进一步看看这题该怎么做。
令人吃惊的是,对于题设中的主要条件,我们竟然还一个都没用过呢!一个垂直,一个中点,又该怎么用起来呢?
这时候就可以启发学生:前面既然说了把目标线段平移到一起,然后构成三角形的三条边,那么我们看看有没有比较容易平移的线段?
很显然,过E作AB的平行线CG,然后使得CG=BE,我们就把BE和FC移到一起了,这时候很容易看出△BED应该和△CGD全等,但是这种平移方法显然太不自然了,我们只要把ED延长一倍,马上可以得到两个目标三角形全等。
而CF+CG能直接得到的结论就是大于FG,FG和EF是否相等是接下来要考虑的问题。很显然这是相等的,因为ED⊥DF,所以∠EDF=∠GDF=90°,于是△EDF全等于△GDF,所以EF=FG。
题目就这样做完了。
我们从探索结论开始,到确定结论,再到运用中线性质(可以看成是△BEC内的中线),全等三角形,是不是把所有讲到的点都过了一遍了?
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