四元数与欧拉角互转

在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：

图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

定义

分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

一、四元数的定义

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：

其中

是绕旋转轴旋转的角度，

为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。

二、欧拉角到四元数的转换

三、四元数到欧拉角的转换

arctan和arcsin的结果是

，这并不能覆盖所有朝向(对于

角

的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

四、在其他坐标系下使用

在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。

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