代数几何综合
1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线
关于直线
对称，与坐标轴交于
三点，且
,点
在抛物线上，直线是一次函数
的图象，点
是坐标原点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形
的面积，求
的值.
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于
两点，问在
轴正半轴上是否存在一定点
，使得不论
取何值，直线
与
总是关于
轴对称？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),
由点D(2，1.5)在抛物线上，所以
，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又
，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以
.
（2）由（1）知
，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(
)，
令kx-2=0，得l与x轴的交点E(
)，
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,
即：
（3）由（1）知
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
所以
,………………(1)
不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，
则（1）式变为
,又yM =k xM-2, yN=k xN-2,
所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2)
把y=kx-2(k≠0)代入
中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，
故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
2、（绵阳市2013年）
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - 2a(b), b=0 ,
点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；
②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；
（2）∠BOC=∠PDB=90o，点P在直线x=m上，
设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，
①当△BOC∽△PDB时，DB(DP),m-1(|p|),p= 2(m-1)或p = 2(1- m),
点P的坐标为（m，2(m-1)）或（m，2(1- m)）；
②当△BOC∽△BDP时， DP(DB)，|p|(m-1)，p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；
综上所述点P的坐标为（m，2(m-1)）、（m，2(1- m)）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，
令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，
∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，
① 当P的坐标为（m，2(m-1)）时，
m-x = 2(m-1)， m=0 m=1
2x2-2- 2(m-1)= m-1, x= 2(1) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
② 当P的坐标为（m，2(1- m)）时，
x-m= 2(m-1) m=- 9(2) m=1
2x2-2- 2(1- m)= m-1, x=- 6(5) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，
m-x =2m-2 m= 2(9) m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- 2(5) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
④当P的坐标为（m，2-2m）时，
x- m = 2m-2 m= 18(5) m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- 6(7) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
综上所述，不存在满足条件的点Q。
3、（2013昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，
），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=
，N′P=AQ=3，将y=﹣
代入得：﹣
=﹣
x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．
解答：
解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣
，
则抛物线解析式为y=﹣
（x﹣2）2+3=﹣
x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：
，
解得：
，
故直线AC解析式为y=﹣
x+3，
与抛物线解析式联立得：
，
解得：
或
，
则点D坐标为（1，
）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，
），即DM=2，故AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=
，NP=AQ=3，
将yM=﹣
代入抛物线解析式得：﹣
=﹣
x2+3x，
解得：xM=2﹣
或xM=2+
，
∴xN=xM﹣3=﹣
﹣1或
﹣1，
∴N3（﹣
﹣1，0），N4（
﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣
﹣1，0），N4（
﹣1，0）．
点评：
此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．
4、（2013陕西）
在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数的对称轴；
（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，
它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，
当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点
为
A，那么它的表达式可表示
为：
]
考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定
系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，
抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。
解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；
（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；
解：（1）对称轴为直线：x=2。
（2）∵A（1，0）、B（3，0），所以设
即
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=
∴C（0，3a），D(2,-a) ∴OC=|3a|,
∵A（1，0）、E（2，0），
∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|
在△AOC与△DEB中，
∵∠AOC=∠DEB=90°
∴当
时，△AOC∽△DEB
∴
时，解得
或
当
时，△AOC∽△BED
∴
时，此方程无解，
综上所得：所求二次函数的表达式为：
或
5、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
（b,c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4,3），直角顶点B在第四象限。
（1）如图，若该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式；
（2）平（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.
i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；
ii）取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究
是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。
解析：
（1）A(0,-1) C(4,3) 则｜AC｜=
ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4
∴B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有
∴
（2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明：
原抛物线
顶点P为(2,1)
设平移后顶点P为(a,a-1),则平移后抛物线
联立y=x-1(直线AC方程)
得Q点为（a-2,a-3）
∴｜PQ｜=
即实际上是线段AP在直线AC上的滑动.
ⅰ）点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点.
①若∠M为直角，则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l
又知｜PQ｜=
，则｜MH｜=
｜PM｜=2
直线l即为AC向下平移｜PM｜=2个单位 L:y=x-3 联立
得x=1±
M点为（1+
，
-2）或（1-
，-
-2）
②若∠P=或∠Q为直角，即PQ为直角边，MQ⊥PQ且，MQ=PQ=
或MP⊥PQ,且MP=PQ=
,∴M点轨迹是AC下方距AC为
且与AC平行直线L
直线L即为AC向下平移｜MP｜=4个单位
L:y=x-5 联立
得x=4或x=-2
∴M点为(4,-1)或（-2，-7）
综上所有符合条件的点M为（1+
，
-2）（4,-1）；（1-
，-
-2）,（-2，-7）
ⅱ)知PQ=
有最大值，即NP+BQ有最小值
如下图，取AB中点M，连结QM,NM,知N为中点
∴MN为AC边中位线，∴MN∥AC且MN=
AC=
=PQ
∴
∴MNPQ为平行四边形
即PN=QM ∴QB+PN=BQ+MQ
此时，作B点关于AC对称的点B′,连
,
交AC于点H，易知
=BQ
∴BQ+PN=
+MQ≥
(三角形两边之和大于第三边)
仅当Q与H重合时，取等号
即BQ+PN最小值存在 且最小值为
连结
知
为等腰直角三角形。
=4，AM=
AB=2 ∴由勾股定理得
∴
最大值存在，且最大值为
6、（2013山西压轴题，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线
与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）当y=0时，
，解得，
∵点B在点A的右侧，
∴点A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0）
当x=0时，y=-4
∴点C的坐标为（0，-4），
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则
.解得，k=
，b=4.
∴直线BD的解析式为
.
∵
），（m，
）
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.
∴（
）-(
)=4-(-4)
化简得：
.解得，m1=0，（舍去）m2=4.
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.
此时，四边形CQBM是平行四边形.
解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴.
∴△BPM∽△BOD.∴
.∴BM=DM.
∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM
CQ∴BM
CQ.∴四边形CQBM为平行四边形.
解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
.解得，k1=
，b1=-4
∴直线BC的解析式为y=
x-4
又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.
又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，
又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.
∴四边形CQBM为平行四边形.
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.
7、（2013内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；
（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．
解答：
解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=
．
∴S△ABC=
=
；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=
x，
∴y=
=
x2，
∵a=
＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y最大=
，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=
（3﹣x），
∴y=
，
=﹣
；
（3），如图4，∵y=﹣
；
∴y=﹣
（x2﹣4x）﹣
，
y=﹣
（x﹣2）2+
，
∵a=﹣
＜0，开口向下，
∴x=2时，y最大=
，
∵
＞
，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直径，
S⊙O=π×12=π．
点评：
本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．
8、（2013新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
考点：
二次函数综合题．
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴
，解得
，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得
，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
即m=﹣
时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=
，y=﹣
，
∴点E的坐标为（
，﹣
），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（
，0），
∴AF=
﹣1=
，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为
×
=
，
又∵AC=
=3
，
∴△ACE的最大面积=×3
×
=
，此时E点坐标为（
，﹣
）．
点评：
本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴
，解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，
∴点P的坐标为（m，﹣ m2+m+4），
∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，
即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；
（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=
．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为
或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
10、（2013曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算；
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．
解答：
解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴
，
解得：b=﹣3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴点E坐标为（m，8+m）．
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，
∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．
∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，
S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=
×2×6+
（6+4）×2﹣
×2×4=12．
（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=
OC=﹣
m，则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=﹣m，
∴DE=BE=﹣m，
∴CE=4+m﹣m=4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，
∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，
∴D（﹣3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣
m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=
BD=﹣2m，
∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，
∴E（m，4﹣m）．
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，
∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，
∴D（﹣2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．
点评：
本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．
11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过
三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：解：（1）设抛物线的解析式为
，
根据题意，得
，
解得
∴抛物线的解析式为：
………(3分)
（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.
设直线BC的解析式为
，
由题意，得
解得
∴直线BC的解析式为
…………(6分)
∵抛物线
的对称轴是
，
∴当
时，
∴点P的坐标是
. …………(7分)
（3）存在 …………………………(8分)
(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为
，∴点N的坐标为
………………………(11分)
（II）当存在的点
在x轴上方时，如图所示，作
轴于点H，∵四边形
是平行四边形，∴
,
∴Rt△CAO ≌Rt△
,∴
.
∵点C的坐标为
,即N点的纵坐标为
，
∴
即
解得
∴点
的坐标为
和
.
综上所述，满足题目条件的点N共有三个，
分别为
，
，
………………………(13分)
12、（2013宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
考点：
一次函数综合题．
分析：
（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=
DE，即y=
x；
（3）当
=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，
=
=
=2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据
求出点P的坐标即可；
当
=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，
=
=
=，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据
即可求出点P的坐标．
解答：
解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=﹣1，
则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD，
∴∠BOD=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=
DE，即y=
x；
（3）当BD：BF=2：1时，
过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴
=
=
=2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4﹣OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4﹣OD，
解得：OD=，
∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由
得：
，
则点P的坐标为（2，2）；
当
=时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴
=
=
=，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8﹣OD=4+2OD，
OD=
，
∴点D的坐标为（0，﹣
），
直线CD的解析式为：y=﹣
x﹣
，
由
得：
，
∴点P的坐标为（8，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．
点评：
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．
13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.
解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得
2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3， ……………1′
解得b=2.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′
（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.
∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.
抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′
∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.
∴MH=1，BG=2. ……………4′
∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，
即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1） ……………5′
（3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH.
∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.
由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.
若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′
设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：
①AE=AM=
，则x=
－3，∴E（
－3，0）；
②∵M在AB的垂直平分线上，
∴MA=ME=MB，∴E（1，0） ……………7′
③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.
AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x=
，∴E（
，0）.
∴所求点E的坐标为（
－3，0），（1，0），（
，0） ……………8′
14、（2013四川宜宾压轴题）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．
（1）请直接写出抛物线y2的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；
（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解；
（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．
解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），
所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；
（2）x=0时，y=﹣1，
y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，
所以，点A（1，0），B（0，﹣1），
∴∠OBA=45°，
联立
，
解得
，
∴点C的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），
在点A的右边时，坐标为（5，0），
所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）存在．
∵点C（2，3），
∴直线OC的解析式为y=x，
设与OC平行的直线y=x+b，
联立
，
消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时x1=x2=×（﹣
）=
，
此时y=（
﹣4）2﹣1=﹣
，
∴存在第四象限的点Q（
，﹣
），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，
解得b=﹣
，
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣
，
令y=0，则x﹣
=0，解得x=
，
设直线与x轴的交点为E，则E（
，0），
过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=
=
，
则sin∠COD=
=
，
解得h最大=
×
=
．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点．
15、(2013浙江丽水压轴题)如图1，点A是
轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作
轴的垂线，垂足为F，过点B作
轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称
点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为
（1）当
时，求CF的长；
（2）①当
为何值时，点C落在线段BD上？
②设△BCE的面积为S，求S与
之间的函数关系式；
（3）如图2，当点
C与点E重合时，△CDF沿
轴左右平移得到△C’D’
F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。
16、（2013自贡压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．
解答：
解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA=
=
，
∴BE=6，
∴OB=BE﹣OE=4，
∴B（﹣4，0）．
∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2+
x﹣2．
（2）抛物线的解析式为：y=
x2+
x﹣2，
令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），
令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．
设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．
S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC
=
BFMF+
（MF+OC）OF+
OAOC
=
（4+m）×（﹣n）+
（﹣n+2）×（﹣m）+
×1×2
=﹣2n﹣m+1
∵点M（m，n）在抛物线y=
x2+
x﹣2上，
∴n=
m2+
m﹣2，代入上式得：
S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，
∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：
，
解得：k=2，b=﹣2，
∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，
令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF=
=
=3
．
设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ=
=
．
设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=
．
在Rt△AGF与Rt△QEF中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴
，即
，
化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．
点评：
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．
17、（2013自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形．3718684
分析：
（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=
x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
解答：
（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=
AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴
=sin45°=
，
∴CP1=
P1D=
，
又∵CP1=CQ，
∴CQ=
；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=
BC，
由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC=
：1，
设AP1=x，则BE=
x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE=
×
x（2﹣x）=﹣
x2+
x
=﹣
（x﹣1）2+
，
故当x=1时，S△P1BE（max）=
．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．
18、（2013广安压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）
考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；
②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴
，
解得
，
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°﹣45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立
，
消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，
当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，
即m=
时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=﹣
，y=﹣
+
=
，
∴点P（﹣
，
）时，△PDE的周长最大；
②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣
=﹣1，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，
在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，
即PF=﹣1﹣n，
∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，
整理得，n2+n﹣4=0，
解得n1=
（舍去），n2=
，
﹣1﹣n=﹣1﹣
=
，
所以，点P的坐标为（
，
）；
（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），
则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=
﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣
﹣1，
此时点P坐标为（﹣
﹣1，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（
，
），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣
﹣1，2）．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．
19、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，
．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
考点：四边形综合题．
分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．
①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．
解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，则
．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=
AB=
，
又∵P为对称中心，则AP=CP=
，
∴AE=
=
=．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，
P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE=
=×2×=，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S四边形AEPN=2S△APE=
；
而S2=2S△PFC=2×
=2x，
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣
﹣2x，
∴y=
=
=
+﹣1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a=
=，即x=2时，y取得最大值．
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．
∴y关于x的函数解析式为：y=
+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x=
，
代入x=
，得y=
﹣2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．
20、（2013衢州压轴题）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；
（3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．
解答：
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2
，
∴t=
=2；
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP=
t，∴OG=PG=t，
∴点P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，
①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，
即：2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，
整理得：t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±
．
∴当t=2或t=5+
或t=5﹣
时，△PQB为直角三角形．
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2，∴OQ=4，
∴2t=4，
∴t=2，
②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ，
∴△PMB∽△QCB
∴
=
，
∴CBPM=QCMB，
∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），
化简得t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±
，
∴t=5﹣
；
③如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC，
∴△PMB∽△QCB，
∴
=
，
∴CBPM=QCMB，
∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），
化简得t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±
，
∴t=5+
；
（3）存在这样的t值，理由如下：
将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，
则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t），
∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2），
代入y=﹣（x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0，
解得：t1=，t2=2．
点评：
本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大．
21、（2013绍兴压轴题）抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；
（2）①根据抛物线y=（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=
，CB=3
，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则
=
=
，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=﹣
x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，解方程组
，即可求出点P的坐标；
②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．
解答：
解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，
解得x=3或﹣1，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）①如右图．
∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3）．
∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）．
连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=
，CB=3
，△BCD为直角三角形．
分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴
=
=
，
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=﹣
x﹣3，
直线BD的解析式为y=2x﹣6．
由方程组
，解得
．
∴点P的坐标为（
，﹣
）；
②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴
=
=
，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=
a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=
a，
∴CG=FG﹣FC=
a，
∴M（
a，﹣3+
a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=
，
∴M（
，﹣
）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴
=
=
，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=
a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=
a，
∴CG=FG+FC=
a，
∴M（
a，﹣3+
a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5
，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（
，﹣
）或（5，12）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．
22、（2013嘉兴压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
考点：
二次函数综合题．
专题：
数形结合．
分析：
（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
解答：
解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，
把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，﹣ m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴
=360docimg_501_，即：360docimg_502_=360docimg_503_，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，﹣ m2+m），
∴点D的坐标为（2m，﹣ m2+m+4），
∴x=2m，y=﹣m2+m+4，
∴y=﹣360docimg_504_++4，
∴所求函数的解析式为：y=﹣360docimg_505_x2+x+4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
360docimg_506_
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（﹣ m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，
把P（3m，﹣ m2+m+4）的坐标代入y=﹣360docimg_507_x2+x+4得：
﹣m2+m+4=﹣360docimg_508_×（3m）2+×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（﹣ m2+m+4）+（m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣360docimg_509_x2+x+4得：
m+4=﹣360docimg_510_m2+m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，
综上所述：m的值为8或﹣8．
点评：
本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．
23、（2013巴中压轴题）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
360docimg_511_
考点：
二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定．
专题：
计算题．
分析：
（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，360docimg_512_）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
解答：
解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），
∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，
∴OP=﹣1=，
在△CPO中，由勾股定理得：OC=360docimg_513_=2，
∴C（0，2），
设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），
∴a=﹣，
∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，
答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2．
（2）y=﹣x2+x+2=﹣360docimg_514_+360docimg_515_，
M（，360docimg_516_），
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M（，360docimg_517_）代入得：360docimg_518_，
解得：k=，b=2，
∴y=x+2，
y=x+2．
答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．
（3）MC与⊙P的位置关系是相切．
证明：设直线MC交x轴于D，
当y=0时，0=x+2，
∴x=﹣，OD=，
∴D（﹣，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+360docimg_519_=360docimg_520_=360docimg_521_，
PC2=360docimg_522_=360docimg_523_=360docimg_524_，
PD2=360docimg_525_=360docimg_526_，
∴CD2+PC2=PD2，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC为半径，
∴MC与⊙P的位置关系是相切．
360docimg_527_
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
24、（2013烟台压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣360docimg_528_，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
360docimg_529_
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到360docimg_530_=360docimg_531_，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；
（3）利用待定系数法可求得直线BE的方程．则易求P点坐标．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t﹣1．所以
S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣360docimg_532_+t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．
解答：
解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣360docimg_533_，0），
则360docimg_534_，
解得，360docimg_535_，
∴该二次函数的解析式为：y=﹣360docimg_536_x2+360docimg_537_x+2；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=+1=，EC=2+=，BC=2，
∴BE=360docimg_538_=360docimg_539_．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴360docimg_540_=360docimg_541_，
∴DG=1．
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切线；
（3）由题意，得E（﹣360docimg_542_，0），B（2，2）．
设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则
360docimg_543_，
解得，360docimg_544_，
∴直线BE为：y=360docimg_545_x+360docimg_546_．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=360docimg_547_，即P（1，360docimg_548_）．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴360docimg_549_=360docimg_550_，
∴360docimg_551_=360docimg_552_，则CN=360docimg_553_t，
∴DN=t﹣1，
∴S△PND=360docimg_554_DNPD=360docimg_555_．
S△MNC=360docimg_556_CNCM=360docimg_557_t2．
S梯形PDCM=（360docimg_558_PD+CM）CD=360docimg_559_．
∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣360docimg_560_+t（0＜t＜2）．
∵抛物线S=﹣360docimg_561_+t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S最大=360docimg_562_．
360docimg_563_
点评：
本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法．注意配方法在（3）题中的应用．
25、（2013菏泽压轴题）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数360docimg_564_的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
360docimg_565_
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；
②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．
解答：解：（1）由y=﹣x+3，
令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（﹣4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得360docimg_566_，
解得：360docimg_567_，
故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．
（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵PQ⊥AC，
∴△APQ∽△CAO，
∴360docimg_568_=360docimg_569_，即=360docimg_570_，
解得：t=360docimg_571_．
即当点P运动到距离A点360docimg_572_个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得： =360docimg_573_，
解得：h=（5﹣t），
∴S△APQ=t×（5﹣t）=360docimg_574_（﹣t2+5t）=﹣360docimg_575_（t﹣）2+360docimg_576_，
∴当t=时，S△APQ达到最大值360docimg_577_，此时S四边形PDCQ=12﹣360docimg_578_=360docimg_579_，
故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为360docimg_580_．
360docimg_581_
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．
26、（2013包头压轴题）已知抛物线y=x2﹣3x﹣360docimg_582_的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（﹣360docimg_583_，0）和点F（0，﹣360docimg_584_），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
360docimg_585_
考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为ymx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
解答：
解：（1）令y=0，则x2﹣3x﹣360docimg_586_=0，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，
解得x1=﹣360docimg_587_，x2=360docimg_588_，
所以，A（﹣360docimg_589_，0），B（360docimg_590_，0），
令x=0，则y=﹣360docimg_591_，
所以，C（0，﹣360docimg_592_），
∵﹣360docimg_593_=﹣360docimg_594_=360docimg_595_，360docimg_596_=360docimg_597_=﹣4，
∴顶点D（360docimg_598_，﹣4）；
（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），
∵A（﹣360docimg_599_，0），C（0，﹣360docimg_600_），
∴OA=360docimg_601_，OC=360docimg_602_，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，
∴360docimg_603_=360docimg_604_，
y=OC=360docimg_605_，
此时点P（0，360docimg_606_），
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，
∴360docimg_607_=360docimg_608_，
即360docimg_609_=360docimg_610_，
解得y=360docimg_611_，
此时点P（0，360docimg_612_），
所以，符合条件的点P有两个，P（0，360docimg_613_）或（0，360docimg_614_）；
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（﹣360docimg_615_，0）和点F（0，﹣360docimg_616_），
∴360docimg_617_，
解得360docimg_618_，
所以，直线l的解析式为y=﹣360docimg_619_x﹣360docimg_620_，
∵B（360docimg_621_，0），D（360docimg_622_，﹣4），
360docimg_623_（360docimg_624_+360docimg_625_）=360docimg_626_，360docimg_627_[0+（﹣4）]=﹣2，
∴线段BD的中点G的坐标为（360docimg_628_，﹣2），
当x=360docimg_629_时，y=﹣360docimg_630_×360docimg_631_﹣360docimg_632_=﹣2，
所以，点G在直线l上；
②在抛物线上存在符合条件的点M．
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（360docimg_633_，0），
∵E（﹣360docimg_634_，0）、F（0，﹣360docimg_635_），B（360docimg_636_，0）、D（360docimg_637_，﹣4），
∴OE=360docimg_638_，OF=360docimg_639_，HD=4，HB=360docimg_640_﹣360docimg_641_=2，
∵360docimg_642_=360docimg_643_=360docimg_644_，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）=180°﹣90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴点D关于直线l的对称点就是点B，
∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（360docimg_645_，﹣4），（﹣360docimg_646_，0），
∴360docimg_647_，
解得360docimg_648_，
所以，直线DE的解析式为y=﹣360docimg_649_x﹣2，
联立360docimg_650_，
解得360docimg_651_，360docimg_652_，
∴符合条件的点M有两个，是（360docimg_653_，﹣4）或（360docimg_654_，﹣360docimg_655_）．
360docimg_656_
点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．
27、（2013株洲压轴题）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，360docimg_657_）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=360docimg_658_．
360docimg_659_
考点：
二次函数综合题．
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，360docimg_660_）代入求出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；
（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．
解答：
（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），
∵抛物线过点（0，360docimg_661_），
∴a（0﹣1）2=360docimg_662_，
解得a=360docimg_663_，
∴抛物线C1的解析式为y=360docimg_664_（x﹣1）2，
一般形式为y=360docimg_665_x2﹣360docimg_666_x+360docimg_667_；
（2）解：当m=2时，m2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴360docimg_668_（x﹣1）2=4，
解得x1=5，x2=﹣3，
∴点B（﹣3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣5，4），
设抛物线C2的解析式为y=360docimg_669_（x﹣1）2﹣h，
则360docimg_670_（﹣5﹣1）2﹣h=4，
解得h=5；
（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，
∴点B、C的纵坐标为m2，
∴360docimg_671_（x﹣1）2=m2，
解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，
∴点C的坐标为（1+2m，m2），
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m﹣1=2m，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），
∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，
设抛物线C2的解析式为y=360docimg_672_（x﹣1）2﹣h，
则360docimg_673_（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=360docimg_674_﹣360docimg_675_=360docimg_676_﹣360docimg_677_=360docimg_678_﹣360docimg_679_=360docimg_680_，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=360docimg_681_．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．
28、（2013娄底）已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．
（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定已知方程的根的情况；
（2）利用根与系数的关系（|xA﹣xB|=360docimg_682_=4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值；
（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．
解答：
（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．
∵xA+xB=﹣2k，xAxB=2k﹣1，
∴|xA﹣xB|=360docimg_683_=360docimg_684_=2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，
解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．
∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣；
（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣．
易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），
∴AB=4，AC=2360docimg_685_，BC=2360docimg_686_．
显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，
∴外接圆的直径为AB=4，
∴﹣2≤m≤2．
360docimg_687_
360docimg_688_
点评：
本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．
29、（2013张家界压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
360docimg_689_
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）利用待定系数法求出直线解析式；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；
（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．
如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．
解答：
解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，1），D（1，0）代入得：360docimg_690_，
解得：b=1，k=﹣1，
∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=360docimg_691_．
∴y=360docimg_692_（x﹣2）2+3=360docimg_693_x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=360docimg_694_=360docimg_695_=360docimg_696_．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为360docimg_697_．
360docimg_698_
360docimg_699_
360docimg_700_
点评：
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．
30、（2013衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
360docimg_701_
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
解答：
解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴360docimg_702_，
解得：a=﹣1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，
整理得：t2+5t﹣3=0，
解得t=360docimg_703_，由于t=360docimg_704_＜0，故舍去，
∴当t=360docimg_705_秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
360docimg_706_
（I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=360docimg_707_OA=360docimg_708_，
∴t=360docimg_709_；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=ADtanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=360docimg_710_，x2=0（舍去），
∴x=360docimg_711_，OD=1﹣x=360docimg_712_，
∴t=360docimg_713_；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=ADtanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1=360docimg_714_，x2=﹣360docimg_715_（舍去），
∴OD=1﹣x=1﹣360docimg_716_，
∴t=1﹣360docimg_717_．
综上所述，当t为360docimg_718_秒、360docimg_719_秒，（1﹣360docimg_720_）秒时，△AON为等腰三角形．
点评：
本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．
31、（2013郴州压轴题）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
360docimg_721_
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出360docimg_722_=360docimg_723_，求出m的值，进而得出答案．
解答：
解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，
∴设y=ax2+2，
∵点C（3，0），在抛物线上，
∴9a+2=0，
解得：a=﹣360docimg_724_，
∴抛物线为；y=﹣360docimg_725_x2+2；
（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，
∴EE′经过AO的中点，
∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：
1=﹣360docimg_726_x2+2，
解得：x=±360docimg_727_360docimg_728_，
∵点E在第一象限，
∴点E为（360docimg_729_360docimg_730_，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
360docimg_731_，
解得：360docimg_732_，
∴BC的解析式为：y=﹣x+3，
将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=360docimg_733_x，
由360docimg_734_，
得：360docimg_735_，
∴Q点坐标为：（360docimg_736_，0），
∴当Q点坐标为（360docimg_737_，0）时，四边形OEAE′是菱形；
（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，
∴360docimg_738_=360docimg_739_，
由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m，
因此：360docimg_740_=360docimg_741_，解得：m=360docimg_742_，
经检验：m=360docimg_743_是原分式方程的解，
∴当t=360docimg_744_秒时，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，
∴360docimg_745_=360docimg_746_，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，
∴360docimg_747_=360docimg_748_，
解得m=360docimg_749_，经检验m=360docimg_750_是方程的解，
∴当t为360docimg_751_秒时，PB∥OD．
360docimg_752_
点评：
此题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，根据数形结合得出△APB∽△QDO是解题关键．
32、（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（360docimg_753_，360docimg_754_），对称轴为直线x=﹣360docimg_755_，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=360docimg_756_MP，MD=360docimg_757_OM，OE=360docimg_758_ON，NF=360docimg_759_NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
360docimg_760_
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．
解答：
（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+360docimg_761_）2+k，
∵点A（0，﹣3），B（360docimg_762_，360docimg_763_）在抛物线上，
∴360docimg_764_，
解得：a=1，k=360docimg_765_．
∴抛物线的解析式为：y=（x+360docimg_766_）2360docimg_767_=x2+x﹣3．
（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形，
∴PM=ON，PN=OM．
∵PC=360docimg_768_MP，OE=360docimg_769_ON，
∴PC=OE；
∵MD=360docimg_770_OM，NF=360docimg_771_NP，
∴MD=NF，
∴PF=OD．
在△PCF与△OED中，
360docimg_772_
∴△PCF≌△OED（SAS），
∴CF=DE．
同理可证：△CDM≌△FEN，
∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=360docimg_773_m，MC=360docimg_774_m，MD=360docimg_775_n，PF=360docimg_776_n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴360docimg_777_，即360docimg_778_，化简得：m2=n2，
∴m=n，即矩形PMON为正方形．
∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．
联立360docimg_779_，
解得360docimg_780_，360docimg_781_，
∴P1（360docimg_782_，360docimg_783_），P2（﹣360docimg_784_，﹣360docimg_785_）；
联立360docimg_786_，
解得360docimg_787_，360docimg_788_，
∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．
∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（360docimg_789_，360docimg_790_），P2（﹣360docimg_791_，﹣360docimg_792_），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．
360docimg_793_
点评：
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON必须是正方形，然后列方程组求解．
33、（2013孝感压轴题）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．
360docimg_794_
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；
②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；
解答：
（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG．
△AGE与△ECF全等．
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AM=EC．
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°﹣45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，
设BH=a，则FH=a﹣1，
∴点F的坐标为F（a，a﹣1）
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，
∴a﹣1=﹣a2+a+1，
∴a2=2，360docimg_795_（负值不合题意，舍去），
∴360docimg_796_．
∴点F的坐标为360docimg_797_．
360docimg_798_
点评：
本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．
34、（2013咸宁压轴题）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 （0，3） 线段AD的长等于 4 ；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
360docimg_799_
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
解答：
（1）点C的坐标是（0,3），线段AD的长等于4； 3分
（说明：前一个空为1分，后一个空为2分）
（2）∵360docimg_800_,
∴360docimg_801_.
∵360docimg_802_,
∴360docimg_803_,
∴360docimg_804_,
∴点360docimg_805_是360docimg_806_的中点， 4分
∴点360docimg_807_的坐标为360docimg_808_. 5分
（说明：由CM＝OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为360docimg_809_，再求出直线CD的解析式，进而求出点M的坐标也可.）
∵抛物线360docimg_810_经过点C，M，
∴360docimg_811_ ，解得：360docimg_812_. 6分
∴抛物线360docimg_813_的解析式为：360docimg_814_. 7分
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形. 8分
360docimg_815_情形1：如图1，当点360docimg_816_在点360docimg_817_的左边时，四边形360docimg_818_为菱形.
∴360docimg_819_,
由题意可知，360docimg_820_
∴360docimg_821_,
∴360docimg_822_,
∴菱形360docimg_823_为正方形.
过点360docimg_824_作360docimg_825_,垂足为360docimg_826_,
则Rt△360docimg_827_为等腰直角三角形.
∴360docimg_828_. 9分
设点360docimg_829_为（360docimg_830_，360docimg_831_），则360docimg_832_360docimg_833_,360docimg_834_，
∵360docimg_835_,
∴3-(360docimg_836_)=360docimg_837_，
解得：360docimg_838_
∴360docimg_839_，
∴菱形360docimg_840_的周长为：360docimg_841_. 10分
情形2：如图2，当点360docimg_842_在点360docimg_843_的右边时，四边形CFPE为菱形.
360docimg_844_ ∴360docimg_845_，360docimg_846_∥360docimg_847_.
∵直线360docimg_848_过点360docimg_849_（-3,0），点360docimg_850_（0,3），
∴直线360docimg_851_的解析式为：360docimg_852_.
过点360docimg_853_作360docimg_854_，垂足为360docimg_855_,
则Rt△CMF为等腰直角三角形,360docimg_856_.
延长360docimg_857_交x轴于点360docimg_858_,
则360docimg_859_x轴, ∴360docimg_860_. 11分
设点360docimg_861_为（360docimg_862_，360docimg_863_），则点360docimg_864_为（360docimg_865_，360docimg_866_），
∴360docimg_867_，360docimg_868_360docimg_869_，
∴360docimg_870_，解得：360docimg_871_，
∴360docimg_872_，
∴菱形360docimg_873_的周长为：（360docimg_874_）360docimg_875_.
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为360docimg_876_或360docimg_877_. 12分
点评：
此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．
35、（2013十堰压轴题）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．
360docimg_878_
考点：
二次函数综合题．3718684
分析：
（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；
（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，
设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣360docimg_879_m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．
解答：
解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0
∴c=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，
由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3
∴B（3，0）
当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3
∴C（0，﹣3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3360docimg_880_
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD=360docimg_881_，
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵360docimg_882_
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，
（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴360docimg_883_
即：360docimg_884_=360docimg_885_
∴ON=2，
∴N（0，﹣2）
设直线PQ的解析式为y=kx+b
则360docimg_886_
解得：360docimg_887_
∴y=﹣360docimg_888_x﹣2
设Q（m，n）且n＜0，
∴n=﹣360docimg_889_m﹣2
又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，
∴n=m2﹣2m﹣3
∴﹣360docimg_890_m﹣2=m2﹣2m﹣3
解得：m=2或m=﹣360docimg_891_
∴n=﹣3或n=﹣360docimg_892_
∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣360docimg_893_，﹣360docimg_894_）．
360docimg_895_
点评：
本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．
36、（2013恩施州压轴题）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
360docimg_896_
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；
（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；
（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．
解答：
解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴360docimg_897_，
解得k=﹣1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．
直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，
∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，
∴N3（0，﹣3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．
（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=360docimg_898_（3+n）m﹣360docimg_899_×3×3﹣360docimg_900_（m﹣3）n=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，
解得：m1=4，m2=﹣1，
∴n1=3，n2=8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=360docimg_901_（3+m）（﹣n）+360docimg_902_×3×3﹣360docimg_903_（3﹣n）m=6，
化简得：m+n=﹣1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．
360docimg_904_
360docimg_905_
360docimg_906_
点评：
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．
37、（2013鄂州压轴题）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．
（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线360docimg_907_上，求该抛物线对应的函数解析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：360docimg_908_，求m的值．
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的360docimg_909_，求此时BP的长度．
360docimg_910_
考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
综合题．
分析：
（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；[来源:学&科&网]
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：360docimg_911_用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=360docimg_912_得到有关m的方程求得m的值即可；
（4）分当∠BPE＜∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．
解答：
解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．
N（0，2）；
360docimg_913_
（2）∵N（0，2）在抛物线y=360docimg_914_x2+360docimg_915_360docimg_916_x+k上
∴k=2
∴抛物线的解析式为y=360docimg_917_x2+360docimg_918_360docimg_919_x+2
（3）∵y=360docimg_920_x2+360docimg_921_360docimg_922_x+2=360docimg_923_（x+2360docimg_924_）2
∴B（﹣2360docimg_925_，0）、A（0，2）、E（﹣360docimg_926_，1）
∵CO：OF=2：360docimg_927_
∴CO=﹣m，FO=﹣360docimg_928_m，BF=2360docimg_929_+360docimg_930_m
∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=360docimg_931_
∴360docimg_932_（2360docimg_933_+360docimg_934_m）（﹣m+1）=360docimg_935_
整理得：m2+m=0
∴m=﹣1或0
∵m＜0
∴m=﹣1
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=360docimg_936_=360docimg_937_=360docimg_938_
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．
∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=360docimg_939_S△ABP
∵S△EHP=360docimg_940_S△ABP
∴360docimg_941_=S△EHP=S△BHP=360docimg_942_S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；
③当∠BPE＜∠APE时．
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分
∵E为AB中点，
∴S△AEP=S△BEP=360docimg_943_S△ABP
∵S△EHP=360docimg_944_S△ABP∴S△EBH=S△EHP=360docimg_945_=360docimg_946_S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EH360docimg_947_360docimg_948_AP，
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠APB=90°，
∴BP=360docimg_949_，
综合①②③知：BP=2或360docimg_950_；
点评：
此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
38、（2013遵义压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣360docimg_951_），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
360docimg_952_
考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
综合题．
分析：
（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．
解答：
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣360docimg_953_（a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）2﹣360docimg_954_=2
解得：a=360docimg_955_
∴y=360docimg_956_（x﹣4）2﹣360docimg_957_
即：y=360docimg_958_x2﹣360docimg_959_x+2
当y=0时，360docimg_960_x2﹣360docimg_961_x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2360docimg_962_，
∴AP+CP=BC=2360docimg_963_
∴AP+CP的最小值为2360docimg_964_；
（3）如图3，连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中
360docimg_965_
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，
∴x2+22=（4﹣x）2
∴x=360docimg_966_
∴D（360docimg_967_，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b
∵直线CE过C（0，2），D（360docimg_968_，0）两点，
则360docimg_969_
解得：360docimg_970_
∴直线CE的解析式为y=﹣360docimg_971_+2；
360docimg_972_
360docimg_973_
360docimg_974_
点评：
本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．
39、（2013黔西南州压轴题）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
360docimg_975_
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：360docimg_976_，
解得：360docimg_977_．
故函数解析式为：y=x2+2x．
（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
若D在对称轴直线x=﹣1左侧，
则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3），
若D在对称轴直线x=﹣1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．
综上可得点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）．
（3）存在．
如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），
根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，
∵BO2+CO2=BC2，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，则360docimg_978_=360docimg_979_，
即x+2=3（x2+2x），
得：x1=360docimg_980_，x2=﹣2（舍去）．
当x=360docimg_981_时，y=360docimg_982_，即P（360docimg_983_，360docimg_984_），
②若△PMA∽△BOC，则360docimg_985_=360docimg_986_，
即：x2+2x=3（x+2），
得：x1=3，x2=﹣2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（360docimg_987_，360docimg_988_）或（3，15）．
360docimg_989_
点评：
本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．
40、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系360docimg_990_O360docimg_991_中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（360docimg_992_，360docimg_993_），E（0，-2），F（360docimg_994_，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交360docimg_995_轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（360docimg_996_，360docimg_997_）是⊙O的关联点，求360docimg_998_的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径360docimg_999_的取值范围。
360docimg_1000_
解析：【解析】(1) ①360docimg_1001_；
② 由题意可知，若360docimg_1002_点要刚好是圆360docimg_1003_的关联点；
需要点360docimg_1004_到圆360docimg_1005_的两条切线360docimg_1006_和360docimg_1007_之间所夹
的角度为360docimg_1008_；
由图360docimg_1009_可知360docimg_1010_，则360docimg_1011_，
连接360docimg_1012_，则360docimg_1013_；
∴若360docimg_1014_点为圆360docimg_1015_的关联点；则需点360docimg_1016_到圆心的距离360docimg_1017_满足360docimg_1018_；
360docimg_1019_由上述证明可知，考虑临界位置的360docimg_1020_点，如图2；
点360docimg_1021_到原点的距离360docimg_1022_；
过360docimg_1023_作360docimg_1024_轴的垂线360docimg_1025_，垂足为360docimg_1026_；
360docimg_1027_；
∴360docimg_1028_；
∴360docimg_1029_；
360docimg_1030_∴360docimg_1031_；
∴360docimg_1032_；
易得点360docimg_1033_与点360docimg_1034_重合，过360docimg_1035_作360docimg_1036_轴于点360docimg_1037_；
易得360docimg_1038_；
∴360docimg_1039_；
从而若点360docimg_1040_为圆360docimg_1041_的关联点，则360docimg_1042_点必在线段360docimg_1043_上；
∴360docimg_1044_；
(2) 若线段360docimg_1045_上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，
则这个圆的圆心应在线段360docimg_1046_的中点；
考虑临界情况，如图3；
即恰好360docimg_1047_点为圆360docimg_1048_的关联时，则360docimg_1049_；
360docimg_1050_∴此时360docimg_1051_；
故若线段360docimg_1052_上的所有点都是某个圆的关联点，
这个圆的半径360docimg_1053_的取值范围为360docimg_1054_.
【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开
头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于360docimg_1055_倍半
径的点.
了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.
考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）
41、(2013年深圳市)如图6-1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线360docimg_1056_经过C、B两点，与360docimg_1057_轴的另一交点为D。
360docimg_1058_360docimg_1059_（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为
（2）如图6-2，求证：BD//AC
（3）如图6-3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。
360docimg_1060_
解析：
360docimg_1061_
360docimg_1062_
42、（2013钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=360docimg_1063_x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．
（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线y=360docimg_1064_x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断360docimg_1065_点C′是否在抛物线y=360docimg_1066_x2+2x上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点：
二次函数综合题．3718684
专题：
探究型．
分析：
（1）由y=360docimg_1068_x2+2x得，y=360docimg_1069_（x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令360docimg_1070_x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；
（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为360docimg_1071_，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC360docimg_1072_′=AC′，由此即可得出结论；
（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线y=360docimg_1073_x2+2x进行检验即可得出结论；
（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，360docimg_1074_故设Q（a，360docimg_1075_（a﹣2）2﹣4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．
解答：
解：（1）∵由y=360docimg_1076_x2+2x得，y=360docimg_1077_（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
令360docimg_1078_x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；
（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为360docimg_1079_，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），
∴抛物线的解析式为：y=360docimg_1080_（x﹣2）2﹣4，即y=360docimg_1081_x2﹣2x﹣2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，
∴OC=360docimg_1082_=360docimg_1083_=2360docimg_1084_，
同理，AC=2360docimg_1085_，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．
（3）如图1，点C′不在抛物线y=360docimg_1086_x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴360docimg_1087_点C′的坐标为（﹣4，2），
把x=﹣4代入抛物线y=360docimg_1088_x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=360docimg_1089_x2+2x上；
（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q（a，360docimg_1090_（a﹣2）2﹣4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴360docimg_1091_=0，解得x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（﹣2，4）（舍去），
∴点Q的坐标为（6，4）．
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360docimg_1093_
点评：
本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．
43、（2013安顺压轴题）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
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考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．
解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得360docimg_1095_，
解得360docimg_1096_，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）存在．
由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1=360docimg_1097_，x2=360docimg_1098_＜1，应舍去，
∴x=360docimg_1099_，
∴y=4﹣x=360docimg_1100_，
即点P坐标为360docimg_1101_．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为360docimg_1102_或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB=360docimg_1103_，CD=360docimg_1104_，BD=360docimg_1105_，
∴CB2+CD2=BD2=20，
∴∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形，
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．
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点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
