2021哈佛麻省理工数学团体赛第九题

非等腰⊿ABC的外心为O，内心为I.内切圆⍵与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.过点D作DP⊥FE于点P，并与⍵交于点Q,过A作AT⊥BC与直线OI交于点T.若OT∥BC. 求证：PQ=PT.

      各辅助线如图所示.AI与⊿ABC外接圆交于点M，MN为外接圆直径,MN交BC于K.AI中点为R，AT与⊿ABC外接圆交于点S,交BC于点J.易知⊿AFE∽⊿NBC,由熟知的结论知FP/EP=BD/CD（为节省篇幅，证明略）故D、P为位似对应点, 圆M(MB)和圆I(IF)为位似对应圆.

    由鸡爪定理，MI=MB所以点I在圆M(MB)上，进而I、Q为位似对应点.

设AQ与I(IF)交于点T’，由位似对应关系，∠MNS=∠IAT’.

由OI∥BC知OI垂直平分MN，于是∠IAT’=∠MNS=∠NMA=∠MAT=∠IAT，故T’和T重合，即点Q在AT上.

作出⊿ABC的三个旁心如右图:

    易知O为旁心三角形九点圆圆心，I为旁心三角形垂心，故OI为旁心三角形欧拉线，又⊿DEF和旁心三角形顺向相似，所以，故⊿DEF的欧拉线和OI平行，则知⊿DEF的垂心在OI上，即OI与DP的交点H为⊿DEF的垂心。

由垂心性质知PH=PQ，即点P为HQ中点，又⊿HTQ为直角三角形，所以PQ=PT.

命题得证！