2021年马其顿初中数学奥林匹克

题1，在今年的数学奥林匹克中，有一些学生是朋友（朋友关系是相互的），也有一些学生不是朋友.不论怎么将这些学生分到两个考场，总有两个朋友在不同考场.令A为一个固定的学生，求证：一定存在两个学生B和C，使得{A,B,C}中恰有两对朋友.

证明：这道题尽管简单，但不仔细也有可能犯错（A为一固定学生，不代表A没有任意性，因为可以固定任何一个学生。如果一上来采用极端法，令A为朋友数最多或最少的那个人，则是不对的）。

   用点表示每个学生，如果两个学生为朋友关系，则在两点之间连一条边，得到一个简单图。由题意，这个图是连通的，否则若存在某点P和任何点不相邻，则将P分在一个考场，他将没有朋友在另一考场，和题意不符。同时这个简单图也不是完全图，因为存在一些学生之间没有朋友关系（有点之间没有边相邻）。

   对固定的A，若A和所有人都是朋友关系，则选择不相邻的量的B、C，这样的{A,B,C}满足题意.

   若A也不认识所有人，设A不认识B，考虑一条A到B的链，若A经过C到达B，则

{A,B,C}满足题意，若A和B之间需要通过D、E（后面可以还有若干个人，但推理方式一样）才到达B，则显然A和E不认识，此时{A,D,E}满足要求，如果E后面还有人，依次类推，总可以找到三个人，其中只有两对朋友关系.

    命题得证！

题2.设ABCD为一个圆外切四边形，其内切圆O与边BC，AD分别切于点K、L.求证：以OC为直径的圆过KL和OD的交点.

证明：设BC和AD的延长线交于点S,KL和OD交于点P,CD和圆O切于点T.

易知点K、T在CO为直径的圆上.

又SL、SK为圆O的切线，所以∠SKL=∠SLK,连PT，DT=DL，PD=PD，PT=PL，所以⊿PDT≌⊿PDL,则∠PTD=∠SLK,于是P、T、C、K四点共圆，这个圆和OC为直径的圆是同一个圆.即点P在OC为直径的圆上.

题5设⊿ABC为锐角三角形，点X和Y分别在AB和AC上，满足BX=CY. I、J分别为⊿ABY和⊿ACX的内心，T为⊿ABY外接圆和⊿ACX外接圆的另一交点.求证：TI/TJ=BY/CX.

证明：连接TX、TY、TB、TC.则有∠TXB=∠TCY,∠TBX=∠TYC,又BX=CY,所以⊿TCY≌⊿TXB.于是TX=TC,TB=TY,进而AT平分∠BAY,AT平分∠CAX，于是A、I、J、T四点共线.

由鸡爪定理，TB=TY=TJ,TX=TC=TI,于是TI/TJ=TX/TY.

显然⊿BTY∽⊿XTC,于是TX/TY=BY/CX,所以TI/TJ BY/CX.

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