题1,在今年的数学奥林匹克中,有一些学生是朋友(朋友关系是相互的),也有一些学生不是朋友.不论怎么将这些学生分到两个考场,总有两个朋友在不同考场.令A为一个固定的学生,求证:一定存在两个学生B和C,使得{A,B,C}中恰有两对朋友.
证明:这道题尽管简单,但不仔细也有可能犯错(A为一固定学生,不代表A没有任意性,因为可以固定任何一个学生。如果一上来采用极端法,令A为朋友数最多或最少的那个人,则是不对的)。
用点表示每个学生,如果两个学生为朋友关系,则在两点之间连一条边,得到一个简单图。由题意,这个图是连通的,否则若存在某点P和任何点不相邻,则将P分在一个考场,他将没有朋友在另一考场,和题意不符。同时这个简单图也不是完全图,因为存在一些学生之间没有朋友关系(有点之间没有边相邻)。
对固定的A,若A和所有人都是朋友关系,则选择不相邻的量的B、C,这样的{A,B,C}满足题意.
若A也不认识所有人,设A不认识B,考虑一条A到B的链,若A经过C到达B,则
{A,B,C}满足题意,若A和B之间需要通过D、E(后面可以还有若干个人,但推理方式一样)才到达B,则显然A和E不认识,此时{A,D,E}满足要求,如果E后面还有人,依次类推,总可以找到三个人,其中只有两对朋友关系.
命题得证!
题2.设ABCD为一个圆外切四边形,其内切圆O与边BC,AD分别切于点K、L.求证:以OC为直径的圆过KL和OD的交点.
证明:设BC和AD的延长线交于点S,KL和OD交于点P,CD和圆O切于点T.
易知点K、T在CO为直径的圆上.
又SL、SK为圆O的切线,所以∠SKL=∠SLK,连PT,DT=DL,PD=PD,PT=PL,所以⊿PDT≌⊿PDL,则∠PTD=∠SLK,于是P、T、C、K四点共圆,这个圆和OC为直径的圆是同一个圆.即点P在OC为直径的圆上.
题5设⊿ABC为锐角三角形,点X和Y分别在AB和AC上,满足BX=CY. I、J分别为⊿ABY和⊿ACX的内心,T为⊿ABY外接圆和⊿ACX外接圆的另一交点.求证:TI/TJ=BY/CX.
证明:连接TX、TY、TB、TC.则有∠TXB=∠TCY,∠TBX=∠TYC,又BX=CY,所以⊿TCY≌⊿TXB.于是TX=TC,TB=TY,进而AT平分∠BAY,AT平分∠CAX,于是A、I、J、T四点共线.
由鸡爪定理,TB=TY=TJ,TX=TC=TI,于是TI/TJ=TX/TY.
显然⊿BTY∽⊿XTC,于是TX/TY=BY/CX,所以TI/TJ BY/CX.
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