⊿ABC中，AB≠AC，内心为I，点D为BC中点，过点D作内切圆的切线（不同于BC）交内切圆于点E.求证：AE//ID.
证明：设内切圆与BC切于点F，连AI并和⊿ABC外接圆交 于点M，作直径MN与外接圆再次交于点N.
易知∠MBD=∠BNM=∠A，∠NBM=∠BDM=90º，
所以⊿NBM∽⊿BDM于是=MD·MN
由鸡爪定理，MI=MB。于是=MD·MN
进而⊿MID∽⊿MNI，于是∠MDI=∠MIN.
∠MDI=90º+∠FDI，∠MIN=90º+∠ANI
所以∠FDI=∠ANI，得∠FID=∠AIN.
于是⊿AIN∽⊿FID,NI/AI=DI/FI.
显然⊿FID≌⊿EID,所以∠DIE=∠FID,∠AIE=∠NID
NI/AI=DI/FI=DI/EI,
于是⊿NID∽⊿AIE,得∠AEI=∠NDI=90º-∠FDI=∠FID
=∠EID,所以AE//ID.
命题得证！
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三角形的众心中，内心相关的问题经常在竞赛题中出现，今年之内余师傅已经做了不下10道和它相关的竞赛题了。相对的，和内心相关的问题难度似乎比垂心外心之内的难一些。
和内心相关的几何结构主要包括：鸡爪定理，曼海姆定理。2019年IMO第六题也是一种常考的内心结构，其中含有丰富的内涵值得挖掘。
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