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Skript Technische Informatik I - Kapitel 6

Übersicht

• 6.1 Negative Zahlen, Zweierkomplement
• 6.2 Gleitkommazahlen
• 6.3 Multiplikation

6.1 Negative Zahlen, Zweierkomplement

In der Zweierkomplementdarstellung durchläuft man zunächst die positiven Zahlen, dann die negativen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge

0000     =    0       1000     =     - 8
0001     =    1       1001     =     - 7
0010     =    2       1010     =     - 6
0011     =    3       1011     =     - 5
0100     =    4       1100     =     - 4
0101     =    5       1101     =     - 3
0110     =    6       1110     =     - 2
0111     =    7       1111     =     - 1

Auch in der Zweierkomplementdarstellung gibt die erste Ziffer das  Vorzeichen an.

Wert einer positiven Zahl

W = ∑ _i=0,n-1 (b_i* 2^(n-1-i))

Beispiel

eine ganze Zahl sei als 8 bit lange Zahl zur Basis 2 dargestellt

W(000011012 ) =

    0*2⁷ +..+ 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀

Wert einer negativen Zahl

W = - (2ⁿ - ∑_i=0,n-1 (b_i* 2^(n-1-i)))

Differenzbildung von zwei ganzen Zahlen

    17              00010001   
    +(-14)        11110010   
    = 3             00000011  

Zweierkomplement am Zahlenkreis

Zweierkomplement (Definition)

Die Bitfolge  
z_n    z_n-1    z_n-2    . . .    z₁   z₀

repräsentiert die Binärzahl
- z_n *  2ⁿ   +  z_n-1 * 2^(n-1) + z_n-2 * 2^(n-2)  + . . .  +  z₁ * 2¹  + z₀


Zweierkomplement für n=3

Für n = 3 ergibt sich:

1000 = - 8    1100 = - 4    0000 = 0    0100 = 4
1001 = - 7    1101 = - 3    0001 = 1    0101 = 5
1010 = - 6    1110 = - 2    0010 = 2    0110 = 6
1011 = - 5    1111 = - 1    0011 = 3    0111 = 7


Negation in Zweierkomplementdarstellung

Addiert man zu einer Zahl ihre Komplementärzahl, so erhält man die Zahl 111 ... 1111

111 .... 1111       =  - 2ⁿ +  2^(n-1) +  ...  + 2¹ + 1

                          =  - 2ⁿ +  ( 2ⁿ - 1)   =  - 1

Eine Zahl plus ihr Komplement ergibt also die Darstellung von -1

Daher negiert man eine Zahl, indem man zu ihrer Komplementärzahl  1 addiert.


Grundrechenarten bei Zweierkomplementzahlen

Addition: Verwendung der gleichen Hardware wie bei vorzeichenlosen Zahlen
              S=A+B; Ci=Carry-In = 0

-5 + 6 = 1

in Zweierkomplementdarstellung :

1011 + 0110 = 0001  (Vorsicht bei Bereichsüberschreitung)

Negation

5 in Zweierkomplementdarstellung : 0101

-5 in Zweierkomplementdarstellung : 1011
 Komplementiere alle Bits,dann addiere 1

Subtraktion: Addition mit vorheriger Bitinversion des Subtrahenden und   
Carry-In am LSB     D=A-B, Ci=Carry-In=1

negiere zweiten Operanden, dann addiere


Zweierkomplement-Addition/Subtraktion und Überlauf

Überlauf = Überschreitung des darstellbaren Zahlenbereichs

Überlauf bei Addition von 2-er Komplement-Zahlen:

Beispiele:

-3 + (-6) = -9
1101 + 1010 = 1 0111 = +7
5 + 6 = 11
0101 + 0110 = 1011  = -5

Sicheres Kennzeichen für Überlauf:

Summanden  gleiches Vorzeichen ≠ Vorzeichen der Summe
=> Carry-In in Vorzeichen-Stelle  ≠ Carry-Out aus Vorzeichen-Stelle


Überlauf bei Subtraktion von 2-er Komplement-Zahlen:

Beispiel:

-3 - (+6) = -9
=>1101 - 0110 => 1101 + 1001 + 0001 = 1 0111 = +7

Sicheres Kennzeichen für Überlauf:

Minuend & komplem.Subtrahend gleiches VZ ≠ VZ der Differenz
=> Carry-In in Vorzeichen-Stelle  ≠ Carry-Out aus Vorzeichen-Stelle

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6.2 Gleitkommazahlen

Rationale Zahlen als Festkommazahlen

In einem allgemeinen Ziffernsystem mit einer Basiszahl b kann man auch rationale Zahlen definieren:

Mit den Ziffern X_n, X_n-1, ..., X₁, X₀ und Y₁, Y₂, ..., Y_m-1  mit X_i , Y_j C {0, 1, ..., b-1}
kann man die gebrochene Zahl

                 X = (X_n X_n-1 ... X₁ X₀ . Y₁ Y₂ ... Y_m-1 )_b   

mit dem Zahlenwert

X = X_n*b^n  +...+ X₁*b^1 + X₀ + Y₁*b^(-1) + Y₂*b^(-2)  + ... + Y_m*b^(-m)
  
bilden.

Beispiele:

gebrochene Binärzahlen

0 . 1,  0 .01,  0 .11,  1 .11,  111 .111, 11011101011 .100111011

gebrochene Dezimalzahlen

0 . 5,  0 . 25,  0 . 75,  1 . 75,  7 . 875,  1771 . 6162109375


Gleitkommazahlen

Analog zu der Schreibweise 4711 = 0.4711 * 10⁴
werden binäre Gleitkommazahlen gebildet.

Gleitkommazahlen (engl.: floating point numbers) bestehen aus:

- dem Vorzeichen V
- dem Exponenten E
- der Mantisse M

V, E und M repräsentieren dann die Zahl (-1)^V * M * 2^E


Vorzeichen, Exponent und Mantisse

Die Mantisse besteht aus Binärziffern m₁ ... m_n und wird als

m₁ x 2^(-1) + m₂ x 2^(-2) + ... + m_n x 2^(-n)  interpretiert.

Das Vorzeichenbit gibt an, ob die Zahl positiv oder negativ ist.

Der Exponent ist eine Binärzahl, z. B. im Bereich -128 bis +127.


Normierte Gleitkommazahlen

Durch Verschieben des Kommas und gleichzeitiger Anpassung des Exponenten kann man erreichen, daß die erste Stelle der Mantisse 1 ist.
 
Diese Darstellung heißt normierte Gleitkommadarstellung.

0.01010111 * 2¹⁴ = 0.1010111 * 2¹³ = 1.010111 * 2¹² (normiert)

Normierte Gleitkommazahlen haben den Vorteil, daß die Mantissenbits optimal ausgenutzt werden, da keine überflüssigen Nullen gespeichert werden müssen.

Die führende 1 braucht auch nicht gespeichert zu werden.

IEEE-754 Norm für Gleitkommazahlen:

Exponent ganzzahlig, 1 ≤ Betrag der Mantisse < 2

Kein Zweierkomplement, sondern Betrag/Vorzeichendarstellung für Mantisse

Einfache Genauigkeit (single precision): 23 Bit Mant., 8 Bit Exp, 1 Bit Vorzeichen

Doppelte Genauigkeit (double precision): 52 Bit Mant., 11 Bit Exp., 1 Bit Vorzeichen

1 ≤  Betrag der Mantisse < 2  => binär zwischen 1,000... und 1,111..
                                           => 1 vor Komma überflüssig (hidden one)

Umwandlung von Gleitkommazahlen ins binäre IEEE-754 Format

Gegeben: ± M 2^E, 1 ≤ M < 2 , -126 ≤ M ≤ 127

IEEE -754: V=Vorzeichenbit (0 = positiv, 1 = negativ)
                Mantisse = vorzeichenlose Darstellung von (M-1) = 0, m₁...m₂₃
                Exponent = vorzeichenlose Darstellung von (E+127) = e₇ e₆... e₀
                => abgespeichert wird ein 32 Bit Datenwort

               

Beispiel:

Umwandlung von 1234567,89₁₀ ins IEEE -754 Format

1234567,89 = 2^20,23557474 = 2^0,23557474 * 2²⁰ = 1,177375686 * 2²⁰
                  = 1,00101101011010000111111000110010₂ * 2²⁰
                  => V = 0
                  Exponent = 20 + 127 = 10010011₂
                  Mantisse =  ,00101101011010000111111

  

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6.3 Multiplikation

Multiplikation von Binärzahlen

Die Multiplikation von Binärzahlen lässt sich auf die Addition und Verschiebeoperationen zurückführen.

Die Binärdarstellung von X wird jeweils um eine Stelle nach links geschoben. Falls die entsprechende Stelle von Y gerade 0 war, wird sie annuliert, ansonsten addiert.

Um diese Multiplikation mit einem Rechner zu realisieren, gibt es das sogenannte < a name="barrel-shifter"Barrel-Shifter-Multiplikationswerk. Es besteht im wesentlichen aus AND-Gliedern und 1-Bit-Volladdierern. Die bitweise Multiplikation entspricht gerade der logischen AND-Operation.

Sind X und Y die Input-Register mit den Bit-Stellen X(n-1),....,X(0) bzw. Y(n-1),....,Y(0) , stellt man ein Gitter her, in dem jede Überkreuzungsstelle X(i) mit Y(i) durch ein AND-Glied verbunden wird. Mit Volladdierern summiert man dann die Spalten auf. Das Carry-Bit wird zeilenweise nach links durchgegeben. Ein Überlauf in einer Zeile wird zur nächsten Spalte addiert.

Für das Ergebnis einer Multiplikation sollte man logischerweise ein Register vorsehen, dass doppelt so breit ist wie die Inputregister.

Die 1-Bit ALU

Zur Konstruktion einer Mehrbit-ALU genügt es, mehrere 1-Bit-ALUs nebeneinanderzuschalten.

Für die arithmetischen Operationen ist auch ein Übertrag von einer zur nächsten Bitposition zu berücksichtigen, so dass jede 1-Bit-ALU einen zusätzlichen Eingang Carry-In und einen zusätzlichen Ausgang Carry-Out erhalten sollte.

Angenommen, man möchte 8 verschiedene Operationen Implementieren, so wird eine 1-Bit-ALU als Boolsche Schaltung mit 6 Eingängen realisiert werden müssen: 3 Eingänge M,S0 und S1, um eine der 2 hoch 3 Operationen einzustellen, ein Carry-Eingang Ci , sowie die Eingänge für die Eingabewerte Xi und Yi. Man benötigt dagegen nur 2 Ausgänge: Si für das Ergebnis der Operation und C(i+1) für den neuen Übertrag. Als logisches Schaltbild erhält man:

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