每个初中生都学过勾股定理：直角三角形中，两直边长度的平方和等于斜边长度的平方。
这个定理在西方叫做毕达哥拉斯定理。
觉得它平淡无奇吗？
然而，毕达哥拉斯定理是整个数学中最重要的定理之一。毕达哥拉斯定理的发现是数学史乃至人类思想史上最重大的事件之一，其影响极为深远。
这个定理最广为人知的例子是：三边长度之比为3：4：5的三角形构成直角三角形。
古埃及人在丈量土地的过程中很早就知道了这一点。这是故事发展的第1阶段。
现在假设我们没在学校学过勾股定理，假设有一天我们从别人那里知道了：三边长度为3、4、5米的三角形构成直角三角形。然后呢？
是的，这很有意思：第一，3，4，5，是不大的整数，第二，它们还是挨着的三个整数。
但是，其它三个挨着的整数并不能构成直角三角形，所以这不过是一个有趣得巧合罢了。有趣，但并没更深的含义。用不着再花时间思考它。
但是，毕达哥拉斯听到埃及人的这一发现后，被深深地触动了。
3，4，5，是线段的长度；直角，是特定大小的角度。它们之间也许存在着内在的、隐秘的联系，而不仅仅是一个偶然的现象。
3，4，5，这三个数，除了是紧挨着的三个数之外，还有什么关系呢？
毕达哥拉斯发现，3与3相乘得到9，4与4相乘得到16，5与5相乘得到25――正好是9与16之和！这是故事发展的第2阶段。
这会不会是偶然呢？别的三个整数，如果其中两个的平方和等于第三个的平方，是不是也构成直角三角形？
快去找其它的数！
试过很多数以后，发现：5，12，13，也是这样的一组数，25+144=169！
用它们做成一个三角形，果然得到一个直角三角形！
再找！
哦，8，15，17也是这样的一组数，7，24，25也是这样的一组数，而用它们做出的三角形，确实都是直角三角形。
大家可以想象到，找出这些数，需要进行很多次计算，因为没有什么公式可以用，只能一个一个地试。
（后来，有人得出了产生“勾股数”的公式，可以找出直角三角形边长的全部整数解。不过这与本文的主题无关。）
不管怎么样，试验表明：三个整数，只要存在上面所说的关系，用它们做出的三角形，必定是直角三角形；这一联系不是偶然的而是普遍的。这是故事发展的第3阶段。
现在是不是可以满意了呢？
现在是发现了一种意外的然而普遍的联系。为什么会存在这种联系呢？怎样理解这种联系呢？在“知其然”之后，能不能进一步“知其所以然”呢？能不能找到对这种联系的解释呢？
解释被找到了。解释意味着弄懂何以必然如此，而这就意味着证明。欧几里得的《几何原本》记载下了对毕达哥拉斯定理的一种证明。
现在理解了，直角三角形中，两条直角边长度的平方和必然等于斜边长度的平方。这是故事发展的第4阶段。
然而故事还没有结束！
因为，在对毕达哥拉斯定理进行证明时，利用的是几何图形的性质，而不是数字的性质。
几何图形，比如线段的长度，与数字的关系是怎样的呢？绝不要以为这个问题是简单的！
线段本身谈不上数字，只有两条线段长度之间的比值才与数字发生关系。
毕达哥拉斯（以及他那个时代的所有人）认为，任何两条或几条线段长度之间的比值，都可以用几个整数之比表示出来。比如，3：2，再比如，432789602：432789601。
他们的意思是，任意给定几条不同长度的线段，总能找到一个短线段，用这个短线段去量给定的几个线段，每一条线段都可以经过整数次以后正好量完（术语是“可公度”）。
比如，以人的食指与中指的长度为例，虽然中指的长度不是食指长度的整数倍，但是，（古希腊人认为）可以找到一个很短的线段，中指和食指都是它的整数倍，中指的倍数略大一点。
对这种看法，你同意吗？同意或不同意的理由是什么？
总之这是古希腊人的看法，我记得我小时候也是这么认为的。
如果你选的线段不能正好量完给定的几个线段，他们会说，这是因为你用的线段还不够短，你应该换一个更短的线段。
所以这种看法几乎不可能驳倒。
但是毕达哥拉斯定理的发现，使这种看法站不住脚了！
毕达哥拉斯发现，正方形的对角线与它的边长是不可公度的，就是说，它们的长度不能表示成两个整数之比！
因为，假设正方形的对角线与边长之比可以表示成两个整数之比m：n，那么，按照毕达哥拉斯刚发现的定理，m的平方应该等于n的平方的二倍。
而毕达哥拉斯发现这是不可能的：没有哪个整数的平方，可以恰好等于另一个整数的平方的二倍！
我的神，他怎么能发现这一点呢！
欧几里得的《几何原本》里，也记下了对这一点的证明。这个证明是全部数学中最高等级的证明之一，虽然现在一个初中生就能够理解它。
这一发现在古希腊数学家中引起了非常大的不安，因为他们发现，他们关于线段与数字的概念存在严重的问题，而他们完全找不到出路。这被称为数学史上的第一次危机。这是故事发展的第5阶段，也是本文的结束。
结束之前，再来回顾一下我们的起点，即古埃及人关于3、4、5的发现；再看看古希腊数学家的思考把我们带到了什么高度！
另外不要忘了这一切都是两千四百年前的思维成果……
我们还注意到，引导毕达哥拉斯之流的，不是实用方面的考虑，而是纯智力上的兴趣。很难想象只关心丈量土地或建造金字塔的人，会进行这个方向的探索。
这也是为什么虽然在世界上别的地方也发现了同一个定理，但唯独毕达哥拉斯对后世的数学研究发生了深刻的影响。
（说明：文中的毕达哥拉斯不应理解为毕达哥拉斯本人，而应理解为他以及他的学派。）
本文封面图片来自网络，感谢原作者！
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