文｜巴迪欧
译｜蓝江
摘自｜真理的内在性
第三节：
空集、可递集、序数、接续序数、整数、极限序数、无限集、ω、基数
1.空集。显而易见，有且只有一个空间。设集合A，有表述“x与x不同”。根据公理5（分类公理），A有一个子集，是由该表述所表达的属性的元素组成。但没任何一个x具有该属性。因此，该子集的元素数为零。可以称之为空集，正如前文所述，用Ø表示空集。很明显，只有一个空集。事实上，根据公理1（外延公理），只有当至少有一个集合是一个集合的元素而不是另一个集合的元素时，两个集合才可能是不同的。但Ø与另一个空集没有任何不同的元素，所以它们之间无法相互区别。
2.可递集。可递集是一个所有元素也都是其子集的集合。(x∈A）→（x⊂A）。这实际上意味着，元素x的所有元素也是集合A的元素。 属于集合A的元素从A“传递”到其元素之上。
请注意，奠基公理要求A中至少有一个元素与A本身没有共同元素。如果一个可递集A的所有元素也是A的元素，这怎么可能呢？答案是：Ø，空集，必然是A的一个元素。 没有元素，Ø也没有元素是A的元素，这符合奠基公理。我们会说：但那时Ø也必须是A的一部分，因为A是可递的。答案如下。Ø是任何集合的一部分。为什么会这样呢？因为没有什么可以阻止它。一个集合要想不成为另一个集合的一部分，它必须至少有一个元素不是该另一个集合的元素。但空集，Ø，没有任何元素。因此，它不可能不属于任何特定的集合。
3. 序数。设集合是可递的，并且其所有元素也是可递的，那么该集合就是一个序数。顺便说一下，由于上述原因，Ø是所有序数的第一个元素。我们将用希腊字母标注序数。
4.接续序数。设α是一个序数。有一个由α的所有元素组成的集合，我们将α本身添加到其中。请注意，根据公理7（奠基公理），α不可能是它自己的一个元素，因此，α的加入确实为α的元素增加了一个元素。这个新集合，我们称之为α+1，这个集合是可递的，因为其元素α是α+1的子集，因为根据定义，α的所有元素都是α+1的元素。此外，α的元素（它是一个序数）是α的，因此也是α+1的子集，因为子集的子集显然也是一个子集，而我们看到，α是α+1的子集。但另一方面，α+1的所有元素都是可递的：α的元素是可递的，因为α是一个序数，而α本身也是可递的，其理由相同。最后，α+1是一个可递集，其元素都是可递的，所以它是一个序数。我们将称其为α的接续序数。
5.整数。空集Ø是一个序数，因为没有什么能阻止它成为一个序数。要使一个集合不是一个序数，它的一个元素必须不是一个子集，或者它的一个元素本身不是可递的。但Ø没有元素，它不可能不是一个序数，所以它是一个序数。
集合Ø+1——Ø的接续序数——不是别的，正是整数1。1的接续是2，以此类推：n的接续是n+1。通过这种方式，我们产生了有限序数族（la famille des ordinaux finis），它与自然数的序数族相吻合。
6.极限序数和无穷大公理。如果一个序数既不是接续序数，也不是空集（空集并不接续），那么它就是极限。无限性公理，我们在这里把它作为集合论的第9条公理，即“存在着极限序数”。
7.无限集ω：可数的无限性。最小的极限序数是由所有有限序数组成的集合。它被表示为ω，通常被称为“可数的”无限，提醒人们它由自然数的集合组成。很容易发现，ω确实是一个序数。
证：一方面，ω的所有元素都是自然整数，都是序数，因此是可递的。另一方面，所有的自然整数都是接续序数，因此，在它们之前的所有序数都作为元素。但所有在有限序数之前的序数都是有限的，因此共同构成了ω的子集，它包含所有的有限序数。因此，ω的任何元素都是ω的子集，这意味着ω是可递的。作为一个元素都是可递集，ω确实是一个序数。
8. 我们以这种方式继续无限有序的序数链：我们将有ω+1，......ω+n，......以及最后到ω+ω，n.ω，ωω，和其他更多的对象。很容易发现，例如，ω+5是一个接续序数，而ω+ω+ω，即3.ω，是一个极限序数。在一般情况下，我们会发现，δ是一个极限序数。
9. 基数。设一个序数α，若没有一个小于它的序数具有与它“同样多的元素”。例如，任何有限序数都是一个基数，因为根据定义，比它小的整数的元素比它少。第一个无限序数，ω，显然也是一个基数，因为它肯定比前面的所有有限序数有更多的元素。因此，它被称为“可数的无穷大”。
当我们处于无限的时候，“更多的元素”的概念变得十分微妙。设两个集合A和B有相同的元素数（我们在总论的第二部分中谈过这个定义），如果从一个集合到另一个集合存在着一一对应关系。或设函数f，它以这样的方式对应于A的任何元素和B的元素，首先，如果A的x与A的y不同，那么，在B中，f(x)与f(y)不同（f被称为“单射”（injective）），其次，B的任何元素都被f达到（f被称为“满射”（surjective））。依此程序继续下去，我们必须在无限序数的数列中很远的地方找到ω后面的基数，我们发现了ω1。然后是ω2，以此类推：通用符号是ωα，其中α代表序数的无限数列。
很明显，当序数指数本身是一个接续序数时，那么就存在着接续基数：ωn+1是基数ωn的接续基数。 如果指数是一个极限序数，符号写成ωδ，相应的基数也是一个极限基数：它不是一个较小基数的明确接续，而是“超越”一个接续基数的序列，就像第一个极限基数ω一样，“超越”无限的整数序列，除了最开始的一个是零，或空集Ø，其它的都是接续。例如，设n是一个非零整数，ωn是一个接续基数，因为n接续n-1。另一方面，基数ωω是一个极限基数。事实上，它是ω之后的第一个极限基数。
因此，我们可以看到，基数的概念已经区分了无限集的概念，这取决于它所指定的无限是否接续了另一个无限。从直观上说，一个极限基数比一个接续能超过前面的无限性“更多”。然而，我们将看到，这个问题会变得十分复杂。
通过选择公理，我们可以证明，任何集合都与一个且只与一个基数一一对应。这个基数衡量着集合的大小（我们也可以说，这是在数学的无限理论中仍然残留着神学的残余，即“幂”（puissance））。那么，我们可以说集合A的基数值，并将这个值记为|A|。因此，总是有|A|=κ，其中κ是一个确定的基数。
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