从傅立叶到泛音

      我们常常说，音乐是没有文字的语言，如果用振动来解释音乐，我们可以说，音乐就是很多循环往复的波的叠加。何以见得？且听我慢慢道来。

      音乐由音符构成，不同的乐器演奏同样的音符，给人的感觉也不尽相同，这种区别我们称为音色。由于弦乐的发声原理比较简单（我们先略去用弓拨动琴弦这个过程，有兴趣可以查阅“自激振动”），我们先来看一根完整的弦，如果被拨离平衡位置，它会以规定的频率振动，倘若弦的总长度等于波长的一半，就称这时的频率为基频，也就是下面这张图最上面的情况。

      如果恰巧振动的弦出现一个或更多的点不发生振动（称为节点），那么相应的称这些频率的声音为泛音。不同的乐器具有不同的音色，就是因为它们同样的曲调却包含着不同的泛音比例。

      对任何音乐，都可以画出其波形，就是将其引起空气的振动转化为电信号，“拾音”，得到一组波形。但是，这样的波形非常复杂，我们无法获取信息。这时候，我们需要对它进行傅立叶变换。（学过的读者可以跳过下一段）

      简而言之，傅立叶级数就是使用一系列三角函数，来无限逼近已知函数。如果这一函数按段光滑（闭区间上，除了至多有限个第一类间断点的函数f的导函数在这一区间除了间断点外都连续，这些间断点两侧导函数的左右极限均存在），这一函数的傅立叶级数收敛于f。

是时候请出这一组动图了！

      简而言之，我想用一组函数来描述声音。函数前面的系数（振幅）作为纵轴，频率（也可以说是后面的n）作为横轴。关于更加详细的傅立叶变换参考网站https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html，网站某些比喻较为不雅，不便转述。

     绘图之后，我们得到了响度-频率图。下面的视频中，使用E调竹笛吹奏sol（从基频到泛音），对声音进行傅立叶变换之后，可以更直观的理解泛音对音色的影响。（这里的频率是对数分布，为了便于观察）