《趣味代数学》乘法的速算

计算能力比较强的人在多数情况下会借助简单的代数法对算术式进行变形，以达到减轻计算难度的目的，我们来举几个例子：

例1　9882

他们通常会这样计算：

这个计算过程使用了下面的代数法对算术式进行了变形：

这个公式能帮助我们做很多口算题。例如：

例2　986×997

这道题可以用下面的方法进行计算：

986×997=（986-3）×1000+3×14=983042

这种计算方法的依据是什么呢？首先把986×997变形为：

（1000-14）×（1000-3）

按代数的规则进行运算：

这最后的一行恰好就是我们上面使用的计算方法。

例3　有一种计算两个不同的三位数的乘积的方法是非常有趣的，它对这两个三位数有着严格的要求：十位和百位上的数字要相等，个位上的数字之和要等于10，比如783×787。

计算步骤非常简单：

78×79=61623×7=21

计算结果为：

783×787=616221

这种方法的计算依据是这样的：

还有一种更简单的算法：

783×787=（785-2）×（785+2）=7852-4=616225-4=616221

不过选用这种“更简单”的算法也是有代价的，那就是必须求出785的平方。上面一种方法尽管麻烦一些，但计算起来相对轻松。

例4　计算末尾数字为5的两位数的平方，只需用十位数字乘以比自身大1的数，得出积后在结尾写上25。例如：

352：3×4=12　答案是：1225

652：6×7=42　答案是：4225

752：7×8=56　答案是：5625

这种方法的计算依据是：将十位上的数字看作a，则该数可表示为二项式，这个二项式的平方为：

其中

就是十位上的数字与一个比它本身大1的数的乘积，将这个积乘以100再加上25，与在这个积的结尾写上25没有任何区别。

用同样的方法也可以计算某些分数的平方，但仅包括后面带有

的分数。比如：

    （俄.别莱利曼）