测量土地的人员在地上画垂线时，通常会用到一种既方便省力，精确度又高的方法：
如图14所示，假设要通过点A做一条直线，使其垂直于MN，设有任意距离a，在AM上取点B，使BA的距离为3a。取一条足够长的绳子，打两个绳结，使两绳结之间的距离为4a，再打第三个绳结，使第二、第三个绳结间的距离为5a。将第一和第三个绳结分别固定在A点和B点上，用手抓住第二个绳结将绳子拉紧，绳子就被拉成了一个直角三角形，角A为直角。
图14 用勾股定理来求解实际问题
古代的时候就已经有这种方法了，几千年前古埃及的建筑师在建造金字塔时就曾使用过，那么这种方法的原理是什么呢？
根据勾股定理，对任意一个三角形来说，如果它的三条边的长度成3:4：5的比例，这个三角形就一定是直角三角形，因为：32+42=52。
事实上，满足关系式
的正整数a、b、c除了3、4、5之外还有很多，这些数被称为“勾股数”，也称为“毕达哥拉斯数”。根据勾股定理，这些数可被视为直角三角形的边长，其中a与b是“直角边”，c是“斜边”。
显然，如果a、b、c是一组整数勾股数，那么pa、pb、pc也是一组整数勾股数（p是整数乘数）。反过来讲，如果一组整数勾股数共有同一个公因数，那么这一组数同时除以这个公因数，就会得到一组新的整数勾股数。既然如此，我们只需讨论一组互为素数的整数勾股数就可以了，因为所有非素数的整数勾股数都是由素数勾股数乘上整数得来的。
任何一组整数勾股数a、b、c中的两个直角边，总会有一个是奇数，而另一个是偶数。现在我们用反证法来证明一下这个结论的正确性。
假设两个直角边a与b都是偶数，那么a2+b2肯定也是偶数，相应的，斜边也会是偶数。这就说明a、b、c有了公因数2，但这显然是违背勾股定理的，因此两条直角边a或者b中肯定有一个是奇数。
我们还可以假设两个直角边都是奇数，那么斜边就是偶数，这显然是不可能的。我们假设两条直角边是2x+1和2y+1，它们的平方和为：
这是一个被4除余数为2的数，这说明它不可能是偶数的平方，因为任何一个偶数的平方都是能被4整除的。或者说，两个偶数的平方之和不可能是另一个偶数的平方。换一个说法就是，我们所假设的这一组数不能构成整数勾股数。
所以说，a、b这两条直角边一奇一偶，a2+b2是奇数，这意味着斜边c也是奇数。
假设a是奇数，b是偶数，那么：
与
互为素数，证明这一点并不难。
c+b与c−b的和：
c+b与c−b的差：
c+b与c−b的积：
假设bc+与bc−共有一个不等于1的素因数，也就是说，2c、2b和a2共有一个公因数，但因为a是奇数，所以它们的公因数不可能是2。因此，也许a、b、c有公因数，但这是根本不可能的。这使我们的假设与现实之间产生了矛盾，而这种矛盾也恰恰表明，事实上bc+与bc−的确是互为素数的。
但有一点需要引起我们的注意，那就是如果我们把两个互为素数的数相乘，得到的乘积是一个完全平方数，那么它们中的任何一个都是一个平方数。即：
这个方程组的解为：
因此：
我们正在分析的整数勾股数的值为：
其中：m与n是一对互为素数的奇数。当然反过来说也是准确的，m与n可以为任何奇数，因为上面的三个表达式总会给出一组整数勾股数。
下面我们为读者列举一些当m与n为不同的奇数时得到的整数勾股数：
除此而外，其他的所有整数勾股数，不是含有公因数，就是含有大于100的数。
勾股数（毕达哥拉斯数）有很多令人感觉有趣的特性，我们再为大家介绍一个，但这里就不做证明了：
如果一条直角边小于3，另一条直角边小于4，那么斜边一定小于5。
如果你有兴趣的话，可以用我们刚刚使用过的勾股数来检验一下它的正确性。（俄.别莱利曼）
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