《自然哲学的数学原理》论求向心力命题VII 问题II

使一个物体在一圆的圆周上运行，需求趋向任意给定点的向心力的定律。

令圆周为VQPA，S为给定的点，它作为力趋向的中心；物体P在圆周上转动，Q为相邻的，它要运动到的位置；且圆在前一位置P的切线为PRZ。经点S引弦PV，并作圆的直径VA，连结AP；且往SP上落下垂线QT，延长它交切线PR于Z；然后又过点Q引LR，它与SP平行，又交圆于L，切线PZ于R。因三角形ZQR，ZTP，VPA相似，RP_quad.，这就是QRL比QT_quad.如同AV_quad.比PV_quad.。因此 

等于QT_quad.。这些相等的量乘以 

，且当点P和Q重合时用PV代替RL。如上所言， 

变为与 

相等。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与 

成反比；亦即（由于AV_quad.给定）与距离或高度SP的平方及弦PV的立方（cubus）的联合成反比。此即所求。

另解

往延长了的切线PR上落下垂线SY；又由相似三角形SYP，VPA；AV比PV如同SP比SY：因此 

 等于SY，且 

等于SY_quad.×PV。所以（由命题VI系理3和系理5）向心力与 

成反比，这就是，因AV给定，与SY_q×PV_cub.成反比。此即所求。

系理1 因此，如果给定点S，向心力总趋向它，它位于这个圆的圆周上，比如说在V，则向心力与高度SP的五次方成反比。

系理2 力，由它物体P在圆周APTV上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一个圆上以相同的循环时间围绕另外一个任意力的中心R运行，如同RP_quad.×SP比直线SG的立方，SG为从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引的，并与物体离第二个力的中心的距离平行的直线。因为由这个命题的作图，前一个力比后一个力如同RP_q×PT_cub.比SP_q×PV_cub.，亦即，如同SP×RP_q比 

，或者（由于相似三角形PSG，TPV）比SG_cub.。

系理3 力，由它物体P在任意轨道上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一轨道上以相同的循环时间围绕另外一个任意的力的中心R运行，如同物体离第一个力的中心S的距离和它离第二个力的中心P的距离的平方所包含的［立体］ SP×RP_q比直线SG的立方，它［SG］从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引，且平行于物体离力的第二个力的中心的距离RP。因为在这个轨道上任意点P的力与在同曲率的圆上的力是相同的。（英.牛顿）