《算术与几何的妙趣》披萨游戏

火腿三明治定理的二维版本对披萨爱好者来说依然颇有益处。实际上，假设有一块不那么圆的披萨，面饼上按照复杂形状随意覆盖着一种配料（例如番茄酱）。火腿三明治定理的二维版本指出，存在一种可能性，使得沿直线一刀将披萨切成两块，朱莉和雅克能得到相同面积的面饼和相同面积的番茄。

可惜的是，办法倒是有，就是很难实现。同时，确定恰当的切法也非易事，除非运气极好，否则一刀下去恐怕难以公平地分割面饼、番茄和奶酪。

分披萨问题是一个趣味游戏，它也引出了一系列难易不一的谜题，有些困扰多年的难题才刚刚得到解答。我们来看看这个游戏：

• 这次，假设用经过中心（以切割线为半径）且夹角分别为 α₁, α₂,…, α_N 的 N 刀将披萨切成 N 块；

• 玩家 A 选择一块；

• 然后，玩家 A 和 B 每人轮流选择一块，要求该块披萨只有一个相邻披萨块，随即产生唯一的一片不断变大的空白区域。

当然，游戏旨在尽可能拿到最大量的披萨，问题在于怎么找到最好的办法。

若 N 为偶数，存在一个确保第一位玩家至少获得一半披萨的策略。这很容易发现。

若 N 为奇数，存在一个确保第一位玩家至少获得三分之一披萨的策略。

第二个结论并不是 N 为奇数时最好的结果。人们猜想 1/3 兴许可以被改善到 4/9。彼得·温克勒提出的这一猜想已同时被两组研究者证明（参见参考文献及其在线 PDF 文件）。实际上，确保能拿到 4/9 的策略很复杂，但目前为止，我们确信在一般情况下结果不可能比 4/9 还好：将披萨分成奇数块时，某些切法可以让第二位玩家最少获得 5/9 的披萨。只要找到诀窍。（让·保罗·德拉耶）