把图形变为同一种类的其他图形。
设要变换的是任意图形HGI。随意引两条平行线AO，BL，截第三条位置给定的任意直线AB于A和B，且由图形的任意一点G，往直线AB引任意的GD，它与OA平行。然后由另一点O，它在直线OA上被给定，往点D引直线OD，它交直线BL于d，并由交点以与直线BL包含任意给定的角竖立直线dg，且它具有与Od之比如同DG比OD具有之比；则点g为点G在新图形hgi中对应的点。由同样的方式，原图形中的每个点给出新图形中同样数目的点。所以，设想点G持续运动走遍原图形中的所有点，则点g以类似的持续运动走遍新图形中的所有点并画出同一图形。为了便于区分，我们称DG为原纵标线，dg为新纵标线；AD为原横标线，ad为新横标线；O为极，OD为交截半径，OA为原纵半径，且Oa（由被补足的平行四边形OABa）为新纵半径。
现在，我说，如果点G位于位置给定的一条直线上，点g也位于位置给定的一条直线上。如果点G位于一条圆锥截线上，点g也位于一条圆锥截线上。这里我把圆算在圆锥截线中。而且如果点G位于一条三次分析阶（ordo analyticus）的［曲］线上，则点g位于三阶的［曲］线上；同样对更高阶的曲线亦是如此。点G，g位于的两曲线的分析阶总相同。因为ad比OA如同Od比OD，dg比DG，以及AB比AD；且因此AD等于（OA×AB）/（ad），且DG等于（OA×dg）/（ad）。现在如果点G位于一直线上，因此在任意的方程中，它具有横标
线AD和纵标线DG之间的关系，那些未定元AD和DG只升至一次，在此方程中AD用（OA×AB）/（ad）代替，且DG用（OA×dg）/（ad）代替，产生一新方程，在其中新横标线ad和新纵标线dg只升至一次。因此必定表示一条直线。否则AD和DG，或者其中之一，在第一个方程中升至二次，ad和dg在第二个方程中类似地升至二次。对三次或更高的次亦如此。在第二个方程中的未定元ad，dg与在第一个方程中的AD，DG总上升到同样的次数，所以点G，g［分别］位于的线，有相同的分析阶。
除此之外，我说如果某一直线在原图形中与一曲线相切；这条直线按照与曲线相同的方式被变换到新图形中，则在新图形中直线与那条曲线相切；且反之亦然。因如果在原图形中曲线上的任意两点相互靠近并重合，在新图形中被变换过的点也相互靠近并重合；因此连接这些点的直线在两个图形中同时成为曲线的切线。
本来我可以给出这些断言的更切近几何方式的证明。但是我力图简约。
所以，如果一个直线图形向另一个图形变换，只需变换构成图形的相交部分，再在新图形中经被变换过的相交部分引直线即可。但是如果应变换曲线，必须变换那些有能力定义曲线的点、切线和其他直线。而且，通过把目标图形变化为更简单的图形，这个引理可用于困难问题的求解中。因此汇聚直线变换为平行直线，用原纵半径代替任意过汇聚点的直线，因此那个交点由于这种约定而跑至无穷；直线无处相交而平行。在新图形中问题被解出之后，如果由逆运算变换这个图形为原图形，可得所需的解。
这个引理亦可用于求解立体问题。每当遇到两个圆锥截线，问题可由它们的交点求解，随意变换它们中的任一个，如果它是双曲线或者抛物线，变为椭圆，然后易于由椭圆变为圆。在平面作图问题中，直线和圆锥截线同样可转变为直线和圆。（英.牛顿）
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