《自然哲学的数学原理》命题XLIIV 定理XIV

力之差，由它们一个物体能在静止的轨道上，且另一物体能在相同的转动着的轨道上做相等的运动，按照它们的公共的高度的三次反比。

令静止的轨道的部分VP，PK与转动着的轨道的部分up，pk相似且相等；且点P，K［之间］的距离被假设为极小。自点k在直线pC上落下垂线kr，且延长它至m，使得mr比kr如同角VCp比角VCP。因为物体的高度PC和pC，KC和kC总相等，显然，直线PC和pC的增量或者减量总相等，且因此，如果在位置P和p的物体中的每个运动被分解为（由诸定律的系理II）两个运动，其中之一朝向［力的］中心，或者沿直线PC，pC确定，且另一横过前者，并沿与直线PC，pC垂直的方向；向着中心的运动总相等，又物体p的横向运动（motus transversus）比物体P的横向运动，如同直线pC的角运动比直线PC的角运动，亦即，如同角VCp比角VCP。所以在相同的时间，在此期间物体P由它自己的两个运动到达点K，物体p由向着中心的相等的运动同等地由p向C运动，且因此在那段时间结束时它在直线mkr上的某处被发现，它经过点k与直线pC垂直；［物体p］由横向运动获得的一段离开直线pC的距离，比另一个物体P获得的离开直线PC的距离，如同物体p的横向运动比另一个物体P的横向运动。由是，因kr等于物体P获得的离开直线PC的距离，mr比kr如同角VCp比角VCP，这就是，如同物体p的横向运动比物体P的横向运动，当那段时间结束时物体p在位置m被发现是显然的。这些事情会是如此，当物体p和P沿直线pC和PC做相等的运动，因此沿那些线推动它们的力相等。再取角pCn比角pCk如同角VCp比角VCP，又设nC等于kC，当那段时间结束时，物体p在n被发现；且因此它被推动的力大于物体P被推动的力，只要角nCp大于角kCp，亦即，如果轨道upk或者前行，或者以大于二倍直线CP被携带着前行的速度退行；如果轨道较慢地退行，则此力较小。且力之差如同位置的间隔mn，在给定的那段时间，那个物体p由力之差的作用移动应经过它。假设以C为中心，间隔Cn或者Ck画圆截直线mr，mn的延长于s和t，则矩形mn×mt等于矩形mk×ms，且因此mn等于（mk×ms）/（mt）。但是，因时间给定，三角形pCk，pCn的大小被给定，kr和mr，同样它们的差mk及和ms与高度pC成反比，且因此矩形mk×ms与高度pC的平方成反比。又mt与 

mt成正比，亦即，如同高pC。这些是初生成的线的初始比；且因此（mk×ms）/（mt），亦即初生成的短线mn，以及与它成比例的力之差与高度pC的立方成反比。此即所证。

系理1 因此，在位置P和p，或者K和k的力的差，比一个力，由它在物体P在不动的轨道上画出弧PK的相同时间能使一个物体以圆周运动从R运行到K，如同初生成的短线mn比初生成的弧RK的正矢，亦即如同（mk×ms）/（mt）比（rk_q）/（2kC），或者如同mk×ms比rk的平方；这就是，如果按照角VCP比角VCp所具有的比取给定的量F，G，如同GG－FF比FF^（26）。且所以，如果以C为中心，任意的间隔CP或者Cp画出的圆扇形等于总面积VPC，它由在不动的轨道上运行的物体P向中心引的半径在任意时间画出：力之差，由于它们物体P在一不动的轨道上运行且物体p在一运动的轨道上运行，比向心力，由它另一物体向中心引的半径在面积VPC被画出的相同时间，能均匀地画出那个扇形，如同GG－FF比FF。因为那个扇形和面积pCk的彼此之比如同它们被画出的时间。

系理2 如果轨道VPK是一个椭圆，它有焦点C和最高的拱点V；并且设椭圆upk与它相似且相等，于是pC总等于PC，且角VCp比角VCP按照G比F的给定之比；把高度PC或者pC写作A，又设椭圆的通径为2R：则力，由它一个物体能在运动的椭圆上运行，如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（A_cub.），且反之亦然。因为力，由它一个物体在不动的椭圆上运行，用量（FF）/（AA）表示，则在V的力是（FF）/（CV_quad.）。但是力，由它能使一个物体以在椭圆上运行的物体在V点的速度在距离为CV的圆上运行，比一个力，由它在椭圆上运行的物体在拱点V被推动，如同椭圆的通径之半比圆的半直径CV，且因此值为（RFF）/（CV_cub.）；则力，它比这个值如同GG－FF比FF，其值为（RGG-RFF）/（CV_cub.）：这个力（由本命题的系理1）是在V的力之差，由它们物体P在不动的椭圆VPK上运行，且物体p在运动的椭圆upk上运行。因为（由本命题）那个差在其他任一高度A比它自身在高度CV如同1/（A_cub.）比1/（CV_cub.），同样的差在每一高度A的值为（RGG-RFF）/（A_cub.）。所以对力（FF）/（AA），由它物体能在不动的椭圆VPK上运行，加上超出的（RGG-RFF）/（A_cub.）；则合成的总力是FF/AA+（RGG-RFF）/（A_cub.），由它物体能在相同的时间在运动的椭圆upk上运行。

系理3 由同样的方式得出，如果不动的轨道VPK是中心在力的中心C的椭圆；假设运动的椭圆upk与它相似，相等且同中心；又设2R为这个椭圆的主通径，且2T为横截径或者长轴，角VCp比角VCP总如同G比F；力，由它们物体能在相等的时间在不动的和运动的椭圆上运行，分别如同（FFA）/（T_cub.）和（FFA）/（T_cub.）+（RGG-RFF）/（A_cub.）。

系理4 并且一般地，如果物体的最大高度CV被称为T，且轨道VPK在V所具有的曲率半径，亦即同等弯曲的圆的半径，被称为R，且向心力，由它一个物体能在任意不动的轨道VPK上运行，在位置V被说成是（VFF）/（TT），在另一位置P被说成是不定的X，高度CP被称为A，并按照角VCp比角VCP的给定之比取G比F：则向心力，由它同一个物体能在相同的时间在有旋转运动的相同的轨道upk上完成相同的运动，如同力的和X+（VRGG-VRFF）/（A_cub.）。

系理5 所以，给定在任意不动的轨道上物体的运动，它的围绕力的中心的角运动（motus angularis）能按照给定的比增大或者减小，且因此可以找到新的不动的轨道，物体以新的向心力在其上运行。

系理6 所以，如果向位置给定的直线CV竖立长度不确定的垂线VP，且连结CP，又引Cp等于它，作角VCp，它比角VCP按照给定的比；力，由它物体能在那条曲线Vpk上运行，点p持续与曲线接触，与高度Cp的立方成反比。因为物体P，由惰性力，在没有其他力推动时，能在直线VP上均匀地前进。被加上的力趋向中心C，与高度CP或者Cp的立方成反比，且（由刚才证明过的）物体从那个直线运动被偏离为在曲线Vpk上的运动。但是这条曲线Vpk与在命题XLI系理3中所发现的那条曲线VPQ是一样的，在那里我们说物体在这种类型的力的吸引下倾斜上升。（英.牛顿）