《自然哲学的数学原理》命题XLV 问题XXXI

轨道与圆相差甚小，需求拱点的运动。

这一问题被算术地解决，作轨道，它由在运动着的椭圆（如同在上面命题中的系理2或者系理3）上运行的物体在不动的平面上画出，接近要求的拱点的轨道的形状，并寻找那个物体在不动的平面上所画轨道的拱点。但轨道获得同样的形状，如果它们被画出的向心力相互比较，在相同的高度成比例。设点V为最高的拱点，且把最大高度CV写为T，其他任意高度CP或者Cp写为A，高度差CV－CP写为X；而且力，由它一个物体在围绕自己的焦点转动的椭圆上运动（正如在系理2中），在系理2中所求的如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（A_cub.），亦即如同（FFA+RGG-RFF）/（A_cub.），用T－X代替A，则如同（RGG-RFF+TFF-FFX）/（A_cub.）。其他任意的向心力类似地约化为一个分数，其分母为A_cub.，且其分子通过归并同类项做成类似。此事由例子说明。

例1.我们假设向心力是均匀的，因此如同（A_cub.）/（A_cub.），或者（在分子中A写作T－X）如同（T_cub.-3TTX+3TXX-X_cub.）/（A_cub.）；再归并分子中对应的项，即已给定的与已给定的一起且未给定的与未给定的一起，成为RGG－RFF+TFF比T_cub.如同－FFX比－3TTX+3TXX－X_cub.，或者如同－FF比－3TT+3TX－XX。现在由于轨道被假设与圆极为近似；让轨道与圆重合，则由于R，T成为相等，因此X无限减小，最终比为RGG比T_cub.如同－FF比－3TT，或者GG比TT如同FF比3TT，又由更比GG比FF如同TT比3TT，亦即，如同1比3；因此，G比F，这就是角VCp比角VCP，如同1比√3。所以，因为在不动的椭圆上的物体，自上拱点下降到下拱点走完180度的角（据我如此说）VCP；在运动的椭圆上的另一个物体，在我们所处理的不动的轨道［面］上，自上拱点下降到下拱点走完180/（√3）度的角VCp：它如此是由于这个轨道，它由物体在均匀向心力的推动下画出，与那个轨道的接近，它由另一物体在转动的椭圆上运行时在静止的平面上画出。由上面项的归并导出这些轨道的相似性，不是普遍的，而仅在它们与圆的形状极为接近的时候。所以物体由均匀的向心力在很接近圆形的轨道上运行，在上拱点和下拱点之间总走完180/（√3）度，或者103度55分23秒的中心角；当它一次走完这个角时，它从上拱点到达下拱点，且当它再一次走完相同的角时，它由此地返回到上拱点；并如此继续以至无穷。

例2.我们假设向心力如同高度A的任意次幂A^n－3或者（Aⁿ）/（A³）；这里n－3和n表示任意的幂指数：整数或者分数，有理数或者无理数，正数或者负数。那个分子A_n或者 

由我们的收敛级数方法化为不定级数，成为Tⁿ－nXT^n-1+[（nn-n）/2]（XXT^n-2&c）。并用它的项与另一个分子的项RGG－RFF+TFF－FFX比较，成为RGG－RFF+TFF比Tⁿ如同－FF比－nT^n-1+[（nn-n）/2]（XT^n-2&c）。并取当轨道接近圆的形状时的最后比，得RGG比T_n如同－FF比－nT^n-1，或者GG比T^n-1如同FF比nT_n-1，又由更比，GG比FF如同T_n-1比nT_n-1，亦即1比n；且因此G比F，亦即角VCp比角VCP，如同1比√n。因为角VCP，在椭圆上的物体从上拱点下降到下拱点走完它，为180度；被走完的角VCp，当物体在由任意与A_n－3成比例的向心力画出的很接近圆形的轨道上，由上拱点下降到下拱点时，等于180/（√n）度的角；且这个角重复时，物体由下拱点返回到上拱点，并如此继续以至无穷。如是，如果向心力如同物体离中心的距离，亦即，如同A或者A⁴/A³，n等于4且√n等于2；且因此上拱点和下拱点之间的角等于 

度或者90度。所以，物体走完一次环绕的四分之一部分，它到达下拱点，再走完另一个四分之一部分，到达上拱点，且如此交替以至无穷。它亦由命题X所证明。因为这一向心力推动物体在不动的椭圆上运行，它的中心在力的中心上。但如果向心力与距离成反比，亦即与1/A或者A²/A³成正比，n等于2，且因此上拱点和下拱点之间的角为180/（√2）度或者127度16分45秒，所以物体以如此的力运行，这个角持续重复，它从上拱点到达下拱点再由下拱点到达上拱点，轮流交替永无穷期。再者，如果向心力与高度的十一次幂的平方根的平方根成反比，亦即与 

成反比，且因此与 

成正比，或者与 

成正比，n等于14且 

度等于360度，所以物体自上拱点离去，并由此持续下降，当它完成整个环绕时到达下拱点，然后持续下降完成另一个完整的环绕，又返回到上拱点：且如此交替永无穷期。

至此我们论及物体在轨道上的运动，它的平面从力的中心穿过。其余的我们亦需确定物体在偏心的平面上的运动。因为从事重物运动著述的作者们，惯常考虑重物的上升与下降，既在任意给定的倾斜平面上，又在垂直方向上；且由同样的理由，在这里我们考虑在任意力的作用下，在偏心的平面上物体趋向中心的运动。但我们假设平面极为平顺且完全润滑，不迟滞物体。此外，在这些证明中，代替物体位于其上并与之相切的平面，我们利用平行于它们的平面，物体的中心在平面上运动并由运动画出轨道。且由同样的定律，我们随后确定物体在曲面上完成的运动。（英.牛顿）