《算术与几何的妙趣》游戏的规则及进展

游戏开始时我们在纸上放 n 个点，两位玩家轮流画一条新弧线，连接两个符合规则的点，并在新加的弧线上增加一个点，如图 1 示例的一局游戏。另外，一个点上的弧线不能超过三条，弧线之间也不能相交。

一局游戏不能无限延续，下面的推理指出，以 n 个点开始的一局游戏必然在 3n 步之内结束。由于每个点最多只能是三条弧线的端点，开始时弧线的端点有 3n 个可能位置。在游戏的每一步，玩家会用掉两个弧线端点的可能位置，又增加一个新的（新增的那个点已经是两条弧线的端点）。因此，每位玩家一步用掉一个空闲位置。3n 步之后，肯定没有任何空闲位置能作为弧线端点，游戏终止。其实，3n-1 步之后就已经是这样了，因为每一步都需要有两个空闲位置。

一局游戏最多持续 3n-1 步，但其实往往更少，因为某些点是两条相互隔绝的弧线的端点，因而不可用：要想将其连接，至少要截断一条弧线。在图 1 的例子里，由三个点开始的一局游戏持续了 7 步。我们也可以证明，一局游戏无法在 2n 步之内完成（参见“游戏的有关信息”）。约翰·康威和苏格兰数学家丹尼斯·莫里森发现恰好持续 2n 步的最小局具有一条独特的性质：仅仅由 5 种形状组成（参见“短局”）。大家给这些形状取了节肢动物名称：虱子、甲虫、蟑螂、球螋和蝎子。

这个游戏属于具有完备信息且不含随机性影响的一类游戏。玩家每时每刻都掌握游戏状态的所有信息，游戏状态的进展趋势取决于游戏的每一步，而并非取决于随机结果。西洋跳棋、国际象棋和围棋都属于这类游戏。该类游戏有三种可能的情况：

(a) 有一种完美的策略确保率先开始的玩家每次都能取胜，无论对方每一步怎么抉择；

(b) 有一种完美的策略确保第二位玩家取胜；

(c) 每位玩家各有一种策略，总是得出平局。

萌芽游戏永远也不会出现平局，玩得好的一方注定会取胜。初始给出的点数 n 是决定哪位玩家取胜的关键。于是，问题在于根据不同 n 值，要弄清到底谁能取胜，而且，应该采用怎样的游戏策略。

从一个点出发（n=1），最先开始的玩家 1 肯定会输。其实，他只有一个可能，就是以初始点开始画一个圈再回到出发点。这就使得第二位玩家可以将初始点和第一位玩家添加的点相连，而玩家 1 无法继续，输掉这局。

从两个点出发（n=2），游戏的分析就复杂起来，但我们仍可以列出所有图形状态。若对手恰当地走好每一步，先开始的玩家总是要输的。

很快，完整的游戏分析就要用到极其微妙的推理（参见“游戏的有关信息”中对游戏方法的一些详细阐述），尤其是，一旦需要研究大量的图形状态，玩家构造图形的拓扑复杂性就会变得很难掌握，萌芽游戏的难度也会远胜其他游戏。

2. 游戏的有关信息

从 n 个点开始游戏时，我们已知一局可以持续小于或等于3n-1步。若这个由步数表示的持续长度为奇数，第一位玩家取胜，反之则第二位取胜。谁能掌控一局的长度，谁就玩得好。以下分析会帮你来把握这个长度。

在一个游戏状态下，点可以分为若干种类别：首先，是可以作为三条新弧线端点的完全自由点，能为游戏提供三个自由度；其次，是提供两个自由度的点；再次，是提供一个自由度的点；最后，是那些无法提供自由度的点，即已经是三条弧线端点的“死点”。

游戏结束时，将不再有任何两个或三个自由度的点，因为从一个有两个或三个自由度的点至少还能画一条回到出发点的圈。

有一个自由度的点又分为两种：第一种点的自由度依然可以被利用，画出一条连接到另一个至少有一个自由度点的弧线；第二种则是孤立的点，就像图中的点 e 和 j，由于它们的所在区域不可能再变化，其自由度无法被利用。这些具有一个自由度的红色点白白将自由度浪费，从而将一局游戏的长度减少一步。若游戏中的某一时刻有 r 个红点，这一局将最多持续 3n-r 步。

在红点周围不远的区域，必然有两个相连的死点与其相邻（点 i 和 h 就与 j 直接相邻），或者位于连接该红点所在圈的弧线上（点 c 和 f 就是与 e 相关的两个相邻死点）。与一个红点相连的死点不能同时与另一个红点相连，否则这两个红点就可以由一条弧线相连。

从 n 个点开始，经过 m 步结束的一局游戏，其最终图形包含 r 个红点且 r =3n-m（自由度在一开始为 3n 个，每走一步减少一个，最终等于红点数目）。我们已经看到，每一个红点与两个死点相关，且这两个死点为其独有。最终图形中的其他死点称作蓝点。由于总共有 n+m 个点，有 r 个红点及与每个红点相关的两个死点，蓝点的数目 b=n+m-(r+2r)=n+m-3(3n-m)=4m-8n。

因此，在一局结束时，便有 m=2n+b/4（康威发现的公式）。从该公式可以推导出：一方面，b 是4的倍数（在局末的图中，b=4）；另一方面，一局结束的步数 m 最少是2n。

根据该公式还可以推导出：若在一局之中已知有 b 个蓝点，则一局长度将最少是 2n+b/4。该信息有助于在某种程度上控制一局的长度。另一个信息就是红点的数目，因为一局长度小于 3n-r 步。在游戏中的每一刻，我们便能对可能的长度有所限定。

最后还有一点可以掌控一局的长度。若在游戏的某一刻，玩家画出的曲线所限定的区域内包含一个不在边界上且拥有一个自由度的点，则该区域在局末仍将包含一个拥有一个自由度的点，即一个红点。其实在包含至少一个自由度的区域内部，始终无法用掉所有的自由度，因为每一步消耗一个自由度后，都会再带来一个新的自由度。

在我们的例子中，当 e、f、g、h、i、j 步走完之后，外部区域包含一个拥有一个自由度的点（点m），边界区域 bhgfdi 也包含一个，即 j，区域 dfg 包含第三个，即 e。该局就持续最多 3n-3 步。

3. 短局

n 个点的萌芽游戏最久持续 3n-1 步，且最快 2n 步结束。仅仅持续 2n 步的一局的最终状态图像由五种固定图案组成，无论 n 是多少。这些图案可以像例子中那样嵌套或内外翻转。

当加德纳在 1967 年发表文章时，仅有的已知解答情况是 n=1、2、3、4、5 和 6。莫里森解答了 4 和 5 的情况。他又和康威打赌，在一个月内以 49 页的证明解答了 n=6 的情况，并赢得 10 先令的赌注！结果表明：n=1、2 或 6 的情况，第二位玩家获胜；而 n=3、4 或 5 的情况，第一位玩家获胜。加德纳和康威认为，n=7 的情况需要用计算机来处理，而最强大的计算机也无法解答 n=8 的情况。（让·保罗·德拉耶）