帕坦卡向浸入边界法下手了！

浸入边界法是近些年发展起来求解流固耦合问题的新算法[1-5]，其核心思想是将固体区域简化为固体边界，将固体与流体之间的相互作用以分布力和分布热的方式加以考虑，从而完成流体与固体的流固耦合。

具体来说，采用欧拉节点描述流体的运动，采用拉格朗日节点描述固体边界的运动，两种节点之间通过狄拉克函数传递数据，如下图所示。

浸入边界法网格系统示意图

浸入边界法的主要优点包括：

1. 整个计算过程都在结构化网格上进行，不需要依照固体形状生成贴体网格或非结构化网格。

2. 当固体处于运动状态或固体在流体作用下存在变形时，采用浸入边界法计算不需要在各个时层上重新生成计算网格，这将显著降低计算量，明显提高计算效率。

到目前为止，浸入边界法已经广泛应用于血液流动、动物游动、圆柱和翼型绕流等领域。

包含浸入边界法的自然对流控制方程为：

其中，f和q分别为欧拉节点的分布力和分布热。

其中，F和Q分别为拉格朗日节点的分布力和分布热；x和X分别为欧拉节点坐标和拉格朗日节点坐标；δ[x-X(s,t)]为狄拉克函数。

图2 狄拉克函数分布

当固体的速度和温度均为第一类边界条件时，其边界条件为表述为：

如今，浸入边界法的处理方法比较丰富，其中新加坡国立大学舒昌[4, 5]教授提出的方法相对简单，且效果较好，本文中将采用该方法。该方法主要按两步走：

1. 预测步：忽略固体对流体的影响，直接计算连续性方程、动量方程和能量方程，计算过程与普通计算流体力学方法相同；

2. 校正步：以固体壁面上拉格朗日节点的分布力和分布热来校正预测步的流场和温度场。

其中

h为空间步长（均分网格）。Δsi为固体表面第i段弧长。m和n分别为拉格朗日节点数和欧拉节点数。

离散过程如下图所示：

抱歉，这块排版实在是太复杂，

喜欢的朋友放大了看就好！！！

综上所述，浸入边界法的实施步骤如下：

（1）令f=0，求解动量方程，得到预估速度u*；

（2）计算系数矩阵A和列向量b；

（3）求解AX=b，得到拉格朗日点分布力，修正欧拉节点预估速度u*；

（4）令q=0，求解能量方程，得到预估温度T*；

（5）计算拉格朗日点分布热，并修正欧拉节点预估温度T*；

（6）如此循环，直至该时层收敛，并开始下一时层计算。

利用本文程序对方腔内圆管加热的空气自然对流进行计算，通过将计算得到的圆管表面稳态传热量与文献结果[4, 6]进行对比来验证本文程序的正确性，结果如下图所示。其中，r和l分别为方腔内圆管的半径和方腔特征尺寸，其他参数请参阅文献[4, 6]。从表中可以看出，本文结果与文献结果[4, 6]吻合良好。

腔内圆管恒壁温加热的稳定热流量

分别采用Fluent软件和本程序对Pr数为354.3，Ra数分别为100000和1000000的圆柱形区域内水平圆管加热的含蜡原油温升过程进行计算，其中水平圆管的半径r0=L/10。将本文计算的含蜡原油温度场与Fluent软件计算结果进行对比（实线和虚线分别为本文计算结果和Fluent软件计算结果），发现二者吻合良好，由此可以确定本节浸入边界法的准确性。

浸入边界法验证

[1] Peskin C S. Flow patterns around heartvalves: a numerical method. Journal of Computational Physics, 1972, 10(2):252-271.

[2] Kim J, Kim D, Choi H. An immersed-boundaryfinite volume method for simulations of flow in complex geometries. Journal of Computational Physics, 2001, 171: 132-150. 

[3] Mittal R., Dong H., Bozkurttas M., NajjarF.M., Vargas A., Loebbecke A. von. A versatile sharp interface immersedboundary method for incompressible flows with complex boundaries. Journal of      Computational Physics, 2008, 227: 4825-4852.

[4] Ren W W, Shu C, Wu J, et al. Boundary condition-enforced immersed boundarymethod for thermal flow problems with Dirichlet temperature condition and itsapplications. Computers and Fluids, 2012, 57: 40-51.

[5] Ren W W, Shu C, Yang W M. An efficient immersed boundarymethod for thermal flow problems with heat flux boundary conditions.International Journal of Heat and Mass Transfer, 2013, 64: 694-705.

[6] Moukalled F, Acharya S. Natural convection inthe annulus between concentric horizontal circular and square cylinders.Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 1996, 10: 524-531.

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